Еще раз о колмогоровской реформе

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1681846 писал(а):

Возможно, неаккуратность изложения. Считайте, что речь о выпуклом многограннике. Только это не оговорено особо. Или оговорено, но Вы проглядели.

Думаю, что не проглядел. Действительно, для средней школы логично ограничиться случаем выпуклых многогранников. Они и определяются просто. У нас были следующие определения. Выпуклый многогранник - это либо выпуклая оболочка своих крайних точек. Либо это пересечение конечного числа замкнутых полупространств. В этом случае не надо и привлекать понятие многогранного угла.

А так получается вот что. Используется достаточно сложное определение. Для того, чтобы его ввести раннее вводится другое понятие. Причём далее рассматривается лишь простые частные случаи - выпуклые многогранники. И ни это сложное определение и ни раннее введенное понятие многогранного угла больше не используется. И тут ученик в замешательстве - а что надо запоминать (и пригодится далее), а что нет.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1681834 писал(а):

Что Вы называете "логическими противоречиями" в школьных учебниках геометрии? Лакуны там есть, недостаточно строго обоснованные утверждения - тоже. Но именно логических противоречий я не знаю. Если Вы про обозначение угла и его величины (градусной меры) одним и тем же словом, то это всего лишь небольшая вольность речи. На логическое противоречие она никак не тянет.

Пока в данной теме обсуждаются реформаторские учебники по геометрии. Моё понимание логической цельности по духу схоже с тем, как это понимается в математической логике. Математическая теория основывается на списке аксиом, из которых делаются логические выводы. Если взять аксиоматику евклидовой геометрии, то там понятия множества нет. Хотя есть понятие принадлежности. Обычные теории как правило строятся, подразумевая, что в основе лежат множества с их аксиомами. А сверху настраиваются другие аксиомы. Колмогоров решил отказаться от евклидовой (гильбертовской) аксиоматики и решил отталкиваться прямо от множеств. В результате угол у него - множество точек. У критиков Колмогорова был аргумент, что такой подход порочен в корне. Нельзя просто построить теорию, исходя сугубо из множеств, аксиом трёхмерного нормированного пространства и т.д. То есть в принципе можно. Но для этого надо повторить путь Бурбаки и Дьедонне. Результат получится для школы неудовлетворительный.

Вот пример логического противоречия. По Колмогорову два луча с общим началом задают угол (как множество точек). Не задают они угол. Они задают два угла - то есть два множества точек. И с каким углом дальше иметь дело? На счёт того, что в задаче всегда ясно, какой из углов брать - не прокатывает. Потому как в задаче эти углы могут быть вообще не конкретизированы. Рассмотрим произвольный многоугольник. У него углы могут быть как внутренние, так и внешние, как меньше $\pi$ , так и больше. А теорему надо доказывать для произвольного многоугольника.

Погорелов умело загнал эту проблему под ковёр. У него тоже два луча задают угол. Но не как множество, а как "фигуру". Что есть фигура - не поясняется. Равенство углов тут понятно, как определить. Непонятно, как определить синус угла (хотя, с косинусом понятно).

-- Сб апр 12, 2025 16:45:12 --

Mihr в сообщении #1681834 писал(а):

Когда? С какого года? Мне кажется, Вы что-то путаете.

Пока я тут рассматривал учебник стереометрии Клопского и др. В цитируемом обзоре Неретина приводится отрицательный отзыв Колмогорова об этой книге. Загуглив, мне не удалось найти современные издания этой книги. Что касается учебника планиметрии Колмогорова и др., то нашёл репринтное малотиражное издание от 2011 года. И как-то я сомневаюсь, что эти учебники в настоящее время используются для обучения в качестве основных или хотя бы в качестве дополнительного пособия.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1681850 писал(а):

И тут ученик в замешательстве - а что надо запоминать (и пригодится далее), а что нет.

Это какой-то идеальный, фантомный ученик в замешательстве. Большинству реальных учеников геометрия чужда. Даже в большей степени, чем вообще математика. Как-то в интернете я видел шутку:

Некто в интернете писал(а):

В школе я изучала два иностранных языка: английский и геометрию.

В общем, размышлять о том, что запоминать, а что нет, практически никто из учеников не станет. Большинство просто запомнит (ненадолго) то, что написано в учебнике. А к следующей неделе (или ещё раньше) забудет. Те же немногие школьники, которым математика нужна, не зубрят формулировки, а вдумываются в них, переводят на язык "внутреннего понимания". И формулировки из учебника - особенно неудачные - они тоже быстро забывают. А помнят образы, стоящие за этими формулировками.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

Моё понимание логической цельности по духу схоже с тем, как это понимается в математической логике.

Видите ли, построение школьной геометрии - это всё-таки не построение формальных систем. Исчисление высказываний или исчисление предикатов позволяют строить не очень-то содержательные теории. Которые за пределами собственно математической логики в своём изначальном, рафинированном виде мало кому нужны. Да, матанализ вовсю использует предикаты, но довольно свободно, неформально, "жаргонно". То же, я полагаю, относится к другим разделам математики: практически всюду используются не доказанные явно "очевидные" утверждения. Во всяком случае, в школьной математике (не только в геометрии!) - именно так. Вспомните, доказывали ли вам в школе коммутативность сложения или умножения? Наверняка нет. И не потому, что это так уж сложно (всё-таки коммутативность сложения доказать несравненно проще, чем теорему Жордана), а просто потому, что для школьников подобные доказательства совершенно излишни. Они запомнили, что "от перестановки слагаемых сумма не меняется" или что "на ноль делить нельзя!" - вот и славно. Почему не меняется или почему нельзя - не так уж важно.
Полно таких "очевидно-неочевидных" мест и в геометрии. Евклиду только казалось, что он построил геометрию на плоскости, опираясь на "пять постулатов и пять аксиом". На самом деле, используя их, он попутно использовал не сформулированные явно дополнительные предположения. Так же ведут себя и авторы школьных учебников геометрии: они замалчивают использование "очевидных" утверждений, не всегда формулируют их явно. И вряд ли возможно построить школьный учебник геометрии (да и алгебры) иначе.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

У критиков Колмогорова был аргумент, что такой подход порочен в корне. Нельзя просто построить теорию, исходя сугубо из множеств, аксиом трёхмерного нормированного пространства и т.д. То есть в принципе можно. Но для этого надо повторить путь Бурбаки и Дьедонне. Результат получится для школы неудовлетворительный.

Это не особенность подхода Колмогорова. Не думаю, что в принципе возможно безупречно строго и вполне понятно изложить школьникам математику. Даже весьма одарённым школьникам. При любом подходе. И при любом стиле изложения.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

По Колмогорову два луча с общим началом задают угол (как множество точек). Не задают они угол. Они задают два угла - то есть два множества точек. И с каким углом дальше иметь дело?

Совершенно надуманная проблема. К тому же, на этот вопрос я уже отвечал:

Mihr в сообщении #1681742 писал(а):

Обычно имеется в виду тот угол, который меньше развёрнутого. В противном случае это оговаривается особо.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

Рассмотрим произвольный многоугольник. У него углы могут быть как внутренние, так и внешние, как меньше $\pi$ , так и больше. А теорему надо доказывать для произвольного многоугольника.

В школе всегда под углом многоугольника понимается внутренний угол. Если речь идёт о внешнем угле, то прилагательное "внешний" не опускают. Невыпуклые многоугольники практически никогда не рассматриваются.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

Погорелов умело загнал эту проблему под ковёр. У него тоже два луча задают угол. Но не как множество, а как "фигуру". Что есть фигура - не поясняется.

В школе много чего не поясняется. Погорелов не выглядит здесь исключением.

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

Непонятно, как определить синус угла (хотя, с косинусом понятно).

А здесь уже мне не понятно, о чём речь Какие проблемы с синусом?

мат-ламер в сообщении #1681871 писал(а):

Пока я тут рассматривал учебник стереометрии Клопского и др. В цитируемом обзоре Неретина приводится отрицательный отзыв Колмогорова об этой книге. Загуглив, мне не удалось найти современные издания этой книги.

Понятно. Но де-факто написали Вы об учебниках геометрии вообще:

мат-ламер в сообщении #1681829 писал(а):

Но учебники по геометрии вдруг перестали издаваться.

Выражайтесь, пожалуйста, точнее.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Это какой-то идеальный, фантомный ученик в замешательстве. Большинству реальных учеников геометрия чужда.

Давайте отложим проблемы реальных учеников, которым геометрия чужда, на потом. Если мы обсуждаем реформаторские учебники по геометрии, то для начала давайте попробуем рассмотреть проблемы тех людей, которые попытаются эти учебники прочесть.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Видите ли, построение школьной геометрии - это всё-таки не построение формальных систем.

Это я вижу, понимаю и полностью с вами согласен. Я не понимаю, меня перед этим зачем вы процитировали? Вы меня спросили про моё понимание логической цельности - я вам ответил. Отсюда никак не следует, что я считаю, что учебники должны удовлетворять требованиям логической цельности.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Не думаю, что в принципе возможно безупречно строго и вполне понятно изложить школьникам математику. Даже весьма одарённым школьникам. При любом подходе. И при любом стиле изложения.

Полностью разделяю вашу точку зрения. И нигде противоположное я не утверждал.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Это не особенность подхода Колмогорова.

Вы знаете другие учебники. в которых геометрия излагается на сходных концепциях?

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Совершенно надуманная проблема. К тому же, на этот вопрос я уже отвечал:

Вопрос я не задавал. Проблему не надумывал. Излагал сугубо факты. Как к ним относится - личное дело каждого.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Обычно имеется в виду тот угол, который меньше развёрнутого.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

В школе всегда под углом многоугольника понимается внутренний угол.

В каждой прикладной задаче, руководствуясь интуицией, мы можем сказать, какой именно угол имеется в виду. Проблема усложняется, когда доказываем теоремы. И в теоремах угол между двумя объектами (лучами, векторами, направлениями ...), если следовать определению углу Колмогорова, не определён в принципе. Между двумя объектами, если следовать Колмогорову, определено множество из двух углов.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

В школе много чего не поясняется. Погорелов не выглядит здесь исключением.

Претензий к Погорелову я не выставлял.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

А здесь уже мне не понятно, о чём речь Какие проблемы с синусом?

У Погорелова (в отличие от Колмогорова) два луча определяют единый объект - угол. Этому объекту однозначно соответствует косинус угла ($\cos \varphi = \cos (2\pi - $\varphi)). Про синус то же самое мы сказать не можем - он определяется с точностью до знака. Можно говорить либо о модуле синуса, либо говорить не о паре лучей, а о упорядоченной паре лучей.

Mihr в сообщении #1681939 писал(а):

Понятно. Но де-факто написали Вы об учебниках геометрии вообще:

В данной теме пока обсуждались реформаторские учебники по геометрии. В цитируемой фразе я имел в виду именно них. Не предположил, что кто-то мог подумать, что я имею в виду все учебнике по геометрии.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1681963 писал(а):

Если мы обсуждаем реформаторские учебники по геометрии, то для начала давайте попробуем рассмотреть проблемы тех людей, которые попытаются эти учебники прочесть.

Видите ли, я сам учился по учебнику Колмогорова. И никаких проблем, связанных с авторским подходом, стилем изложения или чем-то там ещё, у меня не возникало. Возможно, в Вашем понимании, они должны были возникнуть, я их просто не увидел. Но мы, вроде, согласились, что логически безупречно строго и одновременно понятно математику школьникам всё равно не изложить. Тогда что за беда в том, что я не увидел проблем, которые "должен был" увидеть? Понял, что хочет сказать автор, - ну и хорошо. Этого достаточно.

мат-ламер в сообщении #1681963 писал(а):

Вы знаете другие учебники. в которых геометрия излагается на сходных концепциях?

Речь не об этом. А о том, что использование каких угодно концепций не избавит учебник геометрии от лакун и "тёмных мест".

мат-ламер в сообщении #1681963 писал(а):

И в теоремах угол между двумя объектами (лучами, векторами, направлениями ...), если следовать определению углу Колмогорова, не определён в принципе.

Не знаю, что Вам сказать. Я как-то отучился до конца средней школы по Колмогорову. И ни разу у меня не возникло непонимания о чём идёт речь: об угле меньшем или большем развёрнутого; об угле, как множестве точек, или о величине угла. Вы говорите, что "ничего не надумываете", но как же тогда случилось, что я ни разу не столкнулся с излагаемыми Вами здесь и сейчас "проблемами"?

мат-ламер в сообщении #1681963 писал(а):

Про синус то же самое мы сказать не можем - он определяется с точностью до знака.

Понятно. Опять всё та же "проблема": имеется ли в виду угол меньший или больший развёрнутого. Ещё раз повторяю: сверхтупые углы в школе практически не рассматриваются. А там, где они рассматриваются, это оговорено особо.

[vpb]

Mihr
Как я понимаю, Вам колмогоровский учебник более-менее нравится. Но я попробую Вам доказать, что Вы ошибаетесь. Вот, для эксперименту, как бы Вы доказали, на базе того учебника, что сумма углов треугольника равна двум прямым, т.е. развернутому ? (Мелочи типа того, что слово угол употребляется и как "стороны угла", и как "стороны плюс внутренность", и как "величина угла", оставим, ибо то чистая филология).

[Mihr]

vpb,
вроде, так:

[vpb]

Прошу прощения, а слова к этому какие-нибудь прилагаются ?

-- 13.04.2025, 13:26 --

Ну а я, тем временем, попытаюсь сочинить доказательство по-киселевски (точнее, по евклидовски-лежандровски)...

[Mihr]

vpb в сообщении #1681989 писал(а):

а слова к этому какие-нибудь прилагаются ?

Проведём через вершину $C$ треугольника прямую $DG$, параллельную основанию $AB$.
Продолжим отрезки $AC$ и $BC$ за точку $C$, получим лучи $CF$, $CE$ соответственно.
Углы $BAC$ и $GCF$ равны как соответственные. Углы $ABC$ и $DCE$ равны как соответственные. Углы $ACB$ и $ECF$ равны как вертикальные. Сумма величин углов $DCE$, $ECF$ и $GCF$ составляет 180 градусов, потому что вместе они образуют развёрнутый угол.

[vpb]

Mihr в сообщении #1681991 писал(а):

Сумма величин углов $DCE$, $ECF$ и $GCF$ составляет 180 градусов, потому что вместе они образуют развёрнутый угол.

С этим спорить не буду...

Mihr в сообщении #1681991 писал(а):

Углы $ACB$ и $ECF$ равны как вертикальные.

И с этим тоже...

Mihr в сообщении #1681991 писал(а):

Углы $BAC$ и $GCF$ равны как соответственные

А вот это почему ? Что вообще такое соответственные углы, и почему они равны ?

[angor6]

vpb
Я изучал планиметрию по учебникам под редакцией Колмогорова. В шестом классе узнал, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. В доказательстве теоремы понятие "соответственный угол" не использовалось. Использовалось понятие "сонаправленный луч".

[Mihr]

vpb в сообщении #1681997 писал(а):

Что вообще такое соответственные углы, и почему они равны ?

Не помню, как там буквально у Колмогорова, изложу, как, мне кажется, могло бы это излагаться.
Построим на плоскости прямую $l$. Она разобьёт плоскость на две полуплоскости. Все дальнейшие построения проводим в одной из этих полуплоскостей (на моём рисунке - в "правой" полуплоскости).
Выберем на прямой $l$ две различные точки $A$ и $B$. Построим два параллельных луча $AC$ и $BD$, не лежащие целиком на прямой $l$. Выберем точку $M$ на прямой $l$ так, чтобы точка $B$ лежала между точками $A$ и $M$. Углы $CAM$ и $DBM$ назовём соответственными. Параллельным переносом вдоль прямой $l$ совместим угол $CAM$ с углом $DBM$ (это возможно, так как лучи $AC$ и $BD$ параллельны). Следовательно, соответственные углы равны.

[angor6]

Mihr в сообщении #1682006 писал(а):

Не помню, как там буквально у Колмогорова, изложу, как, мне кажется, могло бы это излагаться.

Учебник есть в открытом доступе.

[Mihr]

angor6, спасибо. Вопрос звучал так:

vpb в сообщении #1681981 писал(а):

как бы Вы доказали, на базе того учебника, что сумма углов треугольника равна двум прямым, т.е. развернутому ?

(Выделение моё). Я изложил так, как мне это представляется. Возможно, у Колмогорова сильно по-другому, не вспомню сейчас.

[angor6]

Mihr в сообщении #1682010 писал(а):

Я изложил так, как мне это представляется.

Я понял это. Но почему бы Вам не посмотреть в учебник, если он стал предметом обсуждения?