Немного окольный способ выбрал автор. С другой стороны, правильно, чтобы заинтересовать -- нужно сначала напугать. Может правильнее спросить -- каков общий вид операторов а) коммутирующих с координатой б) коммутирующих с импульсом. Потом уже можно поинтересоваться какие у них ядра в координатном представлении.
Как из того что

следует что

.
Например, подставить

в

да и начать действовать этим ядром на всевозможные функции

из пространства.
Если там стоит дельта функция, то может туда можно и какую-то другую обобщенную функцию вставить ?
Не надо, но если очень хочется -- подставьте и посмотрите, что делает с произвольной функцией

интегральный оператор с таким ядром.
чтобы в целом выражение не росло быстрее чем убывает

что бы предел был 0
Это странные слова, кто куда растёт и убывает, при стремлении к чему?