Задача на ядро оператора

[PhysicsEnjoyer]

Здесь подразумевается что любой оператор можно представить в виде интеграла $\int L(x,x')\Psi(x')dx'$
1) Как из того что $(x'-x)L(x,x') = 0$ следует что $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$. Есть ли на f какое-то ограничение, например, что бы в целом выражение не росло быстрее чем убывает $(x'-x)$ что бы предел был 0. Если там стоит дельта функция, то может туда можно и какую-то другую обобщенную функцию вставить ?
2) Аналогичный вопрос по пункту b, как получить что $L(x,x') = g(x-x')$
3) В процессе доказательства пунка b возникает такое выражение
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx''$
Если бы стояло выражение $\frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x'}$ то по определению производной дельта функции было понять как это считать. А так нет. это главный вопрос

[lel0lel]

Немного окольный способ выбрал автор. С другой стороны, правильно, чтобы заинтересовать -- нужно сначала напугать. Может правильнее спросить -- каков общий вид операторов а) коммутирующих с координатой б) коммутирующих с импульсом. Потом уже можно поинтересоваться какие у них ядра в координатном представлении.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

Как из того что $(x'-x)L(x,x') = 0$ следует что $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$.

Например, подставить $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$ в $(x'-x)L(x,x')$ да и начать действовать этим ядром на всевозможные функции $\Psi$ из пространства.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

Если там стоит дельта функция, то может туда можно и какую-то другую обобщенную функцию вставить ?

Не надо, но если очень хочется -- подставьте и посмотрите, что делает с произвольной функцией $\Psi$ интегральный оператор с таким ядром.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

чтобы в целом выражение не росло быстрее чем убывает $(x'-x)$ что бы предел был 0

Это странные слова, кто куда растёт и убывает, при стремлении к чему?