Задача на ядро оператора

[PhysicsEnjoyer]

Здесь подразумевается что любой оператор можно представить в виде интеграла $\int L(x,x')\Psi(x')dx'$
1) Как из того что $(x'-x)L(x,x') = 0$ следует что $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$. Есть ли на f какое-то ограничение, например, что бы в целом выражение не росло быстрее чем убывает $(x'-x)$ что бы предел был 0. Если там стоит дельта функция, то может туда можно и какую-то другую обобщенную функцию вставить ?
2) Аналогичный вопрос по пункту b, как получить что $L(x,x') = g(x-x')$
3) В процессе доказательства пунка b возникает такое выражение
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx''$
Если бы стояло выражение $\frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x'}$ то по определению производной дельта функции было понять как это считать. А так нет. это главный вопрос

[lel0lel]

Немного окольный способ выбрал автор. С другой стороны, правильно, чтобы заинтересовать -- нужно сначала напугать. Может правильнее спросить -- каков общий вид операторов а) коммутирующих с координатой б) коммутирующих с импульсом. Потом уже можно поинтересоваться какие у них ядра в координатном представлении.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

Как из того что $(x'-x)L(x,x') = 0$ следует что $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$.

Например, подставить $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$ в $(x'-x)L(x,x')$ да и начать действовать этим ядром на всевозможные функции $\Psi$ из пространства.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

Если там стоит дельта функция, то может туда можно и какую-то другую обобщенную функцию вставить ?

Не надо, но если очень хочется -- подставьте и посмотрите, что делает с произвольной функцией $\Psi$ интегральный оператор с таким ядром.

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680990 писал(а):

чтобы в целом выражение не росло быстрее чем убывает $(x'-x)$ что бы предел был 0

Это странные слова, кто куда растёт и убывает, при стремлении к чему?

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel в сообщении #1681137 писал(а):

Это странные слова, кто куда растёт и убывает, при стремлении к чему?

В точке $x=x'$ разность $(x-x') = 0$, а дельта функция равна бесконечности. Произведение должно давать 0

[amon]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681224 писал(а):

точке $x=x'$ разность $(x-x') = 0$, а дельта функция равна бесконечности.

Вы определение $\delta$-функции знаете? Если нет - дело плохо.

[PhysicsEnjoyer]

amon
Думал что да, но судя по вашему вопросу я чего-то не знаю
Нестрогое физическое определение знаю
Строгое математическое определение уже не помню, хотя и изучал его.

-- 05.04.2025, 21:39 --

lel0lel в сообщении #1681137 писал(а):

Например, подставить $L(x,x') = f(x)\delta(x-x')$ в $(x'-x)L(x,x')$ да и начать действовать этим ядром на всевозможные функции $\Psi$ из пространства.

Это понятно, но это доказательство в одну сторону(для того что бы ядро удовлетворяло этому соотношению достаточно что бы оно было таким, но не необходимо, другие варианты не исключены). Впрочем я наверное уже сильно докапываюсь там где не надо, это же задача по физике а не матанализу

-- 05.04.2025, 21:43 --

lel0lel в сообщении #1681225 писал(а):

Может правильнее спросить -- каков общий вид операторов а) коммутирующих с координатой б) коммутирующих с импульсом.

Думаю это хорошее объяснение почему там стоит именно дельта функция а не что то другое

[lel0lel]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681224 писал(а):

В точке $x=x'$ разность $(x-x') = 0$, а дельта функция равна бесконечности

Для $(x-x')f(x)\delta(x-x')$ это даже не точка, а прямая, у которой есть точки с любым значением $x$. Тогда непонятно при каком $x$ мы хотим "повлиять на сингулярность $\delta$" и кем. Функцией $f(x)$? Причём, для всевозможных $x$? В общем, так не нужно работать с дельта-функцией. Иногда в вузе пишут (может сейчас перестали пудрить мозг на первом курсе, не знаю), что $\delta(0)=+\infty$, но это в шутку)

Просто проверьте, действительно ли оператор с ядром $(x-x')f(x)\delta(x-x')$ соответствует умножению функции $\Psi$ на ноль.

[PhysicsEnjoyer]

Да
$\int (x-x')f(x)\delta(x-x')dx' = (x-x)f(x) = 0$

lel0lel в сообщении #1681235 писал(а):

что $\delta(0)=+\infty$, но это в шутку)

Да, похоже с обобщенными ф-ми так в лоб нельзя. Надо с ними больше поработать

[lel0lel]

Правда у Вас $\Psi(x')=1$, а надо бы на произвольную функцию из гильбертова пространства. Но это мелочи)

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
Опечатался с телефона, конечно там функцию пси нужно добавить
А что насчёт вопроса c) ? Если следовать определению производной дельта функции,то что бы найти интеграл там должна быть производная по x'', как к ней перейти?

-- 05.04.2025, 23:50 --

Так, стоп, т.е вид ядра L нужно было установить вообще говоря не из $(x'-x)L(x,x') = 0$ а из следствия из этого,то что $\int(x'-x)L(x,x')\Psi(x') = 0$ для любого пси. И отсюда понятно что это дельта функция умножения на произвольную ф-ю.

[lel0lel]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681244 писал(а):

там должна быть производная по x'', как к ней перейти?

Вы согласны, что из $P(x,x')=-i\hbar\frac{\partial \delta(x-x')}{\partial x}$ следует $P(x'',x')=-i\hbar\frac{\partial \delta(x''-x')}{\partial x''}$? Ещё хочется выяснить, как с производной дельта функции вычисляется интеграл?

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel в сообщении #1681245 писал(а):

Ещё хочется выяснить, как с производной дельта функции вычисляется интеграл?

Нет, это я вкурсе
По определению $\int \frac{ \partial \delta(x-a) }{\partial x} f(x)dx = -f'(a) $
В процессе доказательства пунка b возникает такое выражение
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx''$
И его можно заменить на $\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = $\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$
Мне кажется это не совсем то что Вы написали

[lel0lel]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681274 писал(а):

В процессе доказательства пунка b возникает такое выражение
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx''$
И его можно заменить на $\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = \int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$

Понятно. Если подробно, то так:
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = \int \delta'(x-x'')\frac{\partial(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx''=\int \delta'(x-x'') L(x'',x') dx''=-\int \delta'(x''-x) L(x'',x') dx''=\frac{\partial L(x,x')}{\partial x}$
Использовано дифференцирование сложной функции (цепное правило) и нечётность производной дельта функции $\delta'(y)=-\delta'(-y)$.

-- Вс апр 06, 2025 14:11:08 --

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681274 писал(а):

И его можно заменить на $\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = \int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$

Кстати, равенство у Вас неверное, не хватает минуса.

[pppppppo_98]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681228 писал(а):

Это понятно, но это доказательство в одну сторону(для того что бы ядро удовлетворяло этому соотношению достаточно что бы оно было таким, но не необходимо, другие варианты не исключены). Впрочем я наверное уже сильно докапываюсь там где не надо, это же задача по физике а не матанализу

Ну дык кто вам месшает возьмите оператор $\hat{L}$ ядро $L(x,x')=f(x)\delta(x-x')$, и убедитесь, что $[\hat{L},\hat{x}]=0$. И будет вам счапстье в втде необходимого условия. Да еще поколдуйте над явной записью $\hat{L}|\Psi\rangle$, с реализацией гильбертова пространства волновых функций $|\Psi\rangle\in L_2({\mathbf{R}})$, с тем что бы ограничить класс возможных функций $f$ ядра оператора , с тем что бы $\hat{L}|\Psi\rangle\in L_2({\mathbf{R}})$. Правда в условиях задачи это врое нигде не написано, но вы разумно заметили, что надо какое-то ограничение на поведение f таки наложить

-- Вс апр 06, 2025 15:26:15 --

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681240 писал(а):

Да, похоже с обобщенными ф-ми так в лоб нельзя. Надо с ними больше поработать

все шо нужно знать о дельта функцияx что $\int dx\,f(x) \delta(x) = f(0)$,кстати наверное можно было бы записать так $\boldsymbol\delta[f]=f(0)$ -ибо дельта функция на самом деле функционал ... ну правило интегрирования по частям должно быть сохранено $\int dx\, f(x) \delta'(x)=-\int dx\, f'(x) \delta(x)=-f'(0)$, где f или из пространства финитных функций или пространства Шварца

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel в сообщении #1681288 писал(а):

Если подробно, то так

Да, так все понятно, спасибо.

lel0lel в сообщении #1681288 писал(а):

Кстати, равенство у Вас неверное, не хватает минуса.

У меня
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = \int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$
А у Вас
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' =-\int \delta'(x''-x) L(x'',x') dx''$

lel0lel в сообщении #1681288 писал(а):

нечётность производной дельта функции

Это не одно и тоже?

[pppppppo_98]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681298 писал(а):

У меня
$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = \int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$
А у Вас

Это не правильно... для любой функции $f(x-x')$ выполняется $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x'}=0 $..дельта функцию можно аппроксимировать последовательность хороших функций $f_n\to\delta$ , для каждой из которых будет выполняться это соотношение, ну и дельта функция тоже стало быть будет иметь это соотношение.

$\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x} L(x'',x') dx'' = -\int \frac{\partial \delta(x-x'')}{\partial x''} L(x'',x') dx''$