Задача на след

[lel0lel]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1681118 писал(а):

меня все под операцией следа, поэтому можно использовать коммутацию. Или я не прав ?

нет никакой коммутации, есть циклическая перестановка матриц. Вы не соберёте их в степени с помощью циклической перестановки.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
Тогда я не понял как мне получить коэффициент при лямбда

[lel0lel]

\begin{align*}&\operatorname{Tr}(\frac{\partial}{\partial \lambda} \exp(\lambda \hat{A}+\hat{B})) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^k\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\operatorname{Tr} \sum_{i=1}^{k}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{i-1}\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{k-i}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!} \sum_{i=1}^{k}\operatorname{Tr}\left((\lambda \hat{A} + \hat{B})^{i-1}\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{k-i}\right)\\& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!} \sum_{i=1}^{k}\operatorname{Tr}\left(\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{k-i}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{i-1}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\operatorname{Tr} \left(k\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{k-1}\right)\\&=\operatorname{Tr} \left(\hat{A}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\lambda \hat{A} + \hat{B})^{k-1}}{(k-1)!}\right)\end{align*}
Под следом матрицы можно циклически переставлять: $\operatorname{Tr}(ABC)=\operatorname{Tr}(CAB)$.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
Все понятно, спасибо большое
Да, я почему-то думал что там коммутативность, но нет, там именно свойство циклическтй перестановки
Тут разобрался, осталась ещё другая тема про интегральные представления оператора