2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача на след
Сообщение03.04.2025, 22:38 


25/07/24
40
Показать что имеет место равенство
$  \operatorname{Tr}(\frac{\partial}{\partial \lambda} \exp(\lambda \hat{A}+\hat{B})) = \operatorname{Tr} (\hat{A}\exp(\lambda \hat{A} + \hat{B})) $
Где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ - произвольные матрицы (одного и того же ранга)
Указание. Для доказательства следует разложить экспоненту в ряд и после дифференциирования сравнить члены с одинаковыми степенями $\lamdba$

Думаю что тут нужно использовать то что при взятии следа можно использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} =  \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $, и тогда разлагать выражения по типу $(\lambda \hat{A} + \hat{B})^n$ по биному Ньютона. Но членов даже по первой степени $\lambda$ кажется бесконечно поэтому не понимаю как решить. И обязательно ли тут матрицы конечного размера ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение03.04.2025, 23:12 


21/12/16
1449
PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):
Показать что имеет место равенство
$  \operatorname{Tr}(\frac{\partial}{\partial \lambda} \exp(\lambda \hat{A}+\hat{B})) = \operatorname{Tr} (\hat{A}(\lambda \hat{A} + \hat{B})) $

а это просто неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение03.04.2025, 23:21 


25/07/24
40
drzewo
Исправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение03.04.2025, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
PhysicsEnjoyer в сообщении #1680995 писал(а):
Исправил
И это верно лишь при некотором условии. Сами подумайте, каком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 10:47 


25/07/24
40
Red_Herring
Размерность матриц конечна ? Или если и бесконечна, то что бы след сходился к какому-то числу ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 12:14 


21/12/16
1449
откуда дровишки, если не секрет, Блохинцев очередной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
PhysicsEnjoyer в сообщении #1681009 писал(а):
Размерность матриц конечна ?
Не нужно и недостаточно.
drzewo в сообщении #1681031 писал(а):
Блохинцев очередной?
Наверно собственные фантазии на пороге великого открытия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 13:50 


25/07/24
40
drzewo
Галицкий Карнаков Коган
Задача 1.9 (1991 год)

(Ну там в каких-то издании $ \operatorname{Tr}$, $\frac{\partial }{\partial \lambda}$ меняют местами)
Red_Herring
Чужие открытия себе не присваиваю

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 14:20 
Заслуженный участник


29/09/14
1277
В книге "Задачи по квантовой механике" (В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган) в издании 1992 года задача 1.9 сформулирована так:

"Показать, что имеет место равенство $$\frac{\partial}{\partial \lambda}\, \operatorname{Sp} \,(\exp (\lambda\hat{A}+\hat{B}))=\operatorname{Sp}\,(\hat{A}\exp (\lambda\hat{A}+\hat{B})),$$ где $\hat{A}$ и $\hat{B}$ - произвольные матрицы (одного и того же ранга). Существенно ли взятие следа матриц в этом соотношении?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 14:25 
Заслуженный участник


20/04/10
1982
Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять. Также, след суммы равен сумме следов. Размерность, как выше написано, нужно ограничить, чтобы бесконечности при некотором $\lambda$ не возникали. Или наложить требование, что все следы существуют. Раскладывать экспоненту в ряд, записать след как сумму следов отдельных слагаемых. При дифференцировании по Лейбницу постоянно матрицу А "протаскивать" под следом влево. Потом обратно собрать все слагаемые в один след. Матрица А так и останется слева, справа будет ряд экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 14:55 


25/07/24
40
Cos(x-pi/2)
Изображение
Да, просто в английском издании $\operatorname{Tr}$ написан первее производной, я на него опираюсь. Не думаю что это важно
Насчет второй части вопроса, я ее не писал т.к. ответ очевиден, взятие следа существенно, его можно не брать только в том случае если матрицы коммутируют.

-- 04.04.2025, 14:58 --

lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):
Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять

Да, это я тут и имел ввиду

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):
использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} =  \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $


lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):
При дифференцировании по Лейбницу

Дифференциирование по Лейбницу значит производную сложной функции или n-я производная произведения ?

-- 04.04.2025, 15:01 --

Просто мне кажется там нужно просто в бином ньютона расскладывать (это можно сделать из-за коммутативность под знаком операции следа) и ни то ни то не нужно

-- 04.04.2025, 15:03 --

lel0lel
У меня основной вопрос такой: Там перед каждым $\lambda^k$ будет стоять бесконечная сумма из коэфициентов ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:06 
Заслуженный участник


20/04/10
1982
Производная по лямбда произведения n сомножителей, той самой n-ой степени. Просто не нарушаем коммутативность, пока дифференцируем, а затем вспомним про то, что все получившиеся слагаемые стоят внутри оператора след. Сейчас приеду домой, напишу подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:08 


25/07/24
40
lel0lel
Понял. Да, если у меня взятие следа самая последняя операция то коммутативность еще нельзя нарушать при дифференциировании.

-- 04.04.2025, 15:11 --

lel0lel

(Оффтоп)

А правило Лейбница работает даже при некоммутативности ?) Если да то как доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:18 


21/12/16
1449
lel0lel в сообщении #1681059 писал(а):
Коммутативность матриц здесь не нужна, под следом можно циклически их переставлять. Также, след суммы равен сумме следов. Размерность, как выше написано, нужно ограничить, чтобы бесконечности при некотором $\lambda$ не возникали. Или наложить требование, что все следы существуют. Раскладывать экспоненту в ряд, записать след как сумму следов отдельных слагаемых. При дифференцировании по Лейбницу постоянно матрицу А "протаскивать" под следом влево. Потом обратно собрать все слагаемые в один след. Матрица А так и останется слева, справа будет ряд экспоненты.

Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$. Вот тут
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
написано, что это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
Да, след меняет все. Без следа правильная формула
$$\frac{\partial}{\partial \lambda } e^{A(\lambda)t} = 
\int_0^t e^{A(\lambda)s}\bigl(\frac{\partial}{\partial \lambda } A(\lambda)\bigr) e^{A(\lambda)(t-s)}\,ds $$, а применяя след
$$\frac{\partial}{\partial \lambda } e^{A(\lambda)t} = 
\int_0^t \bigl(\frac{\partial}{\partial \lambda } A(\lambda)\bigr) e^{A(\lambda)(t-s)}e^{A(\lambda)s}\,ds .$$ С неограниченными операторами все сложнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group