2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:44 
Заслуженный участник


20/04/10
1982
drzewo в сообщении #1681074 писал(а):
Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$. Вот тут
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
написано, что это неверно.
Ничего подобного не доказывал. Только $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}(\lambda\hat{A}+\hat{B})^n=\operatorname{Tr}\left( n\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})^{n-1}\right)$. Поскольку $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\operatorname{Tr} \left(\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A})\right)=\operatorname{Tr} \left(2\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)$.

$\frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{((\lambda+h)\hat{A}+\hat{B})((\lambda+h)\hat{A}+\hat{B})-(\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})}{h}=\\\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A}$
Можно правило Лейбница и для произведения дифференцируемых функций применять. То есть, дифференцируйте "на здоровье", только производные сомножителей оставляйте на том же месте, чтобы не нарушить коммутативность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 15:57 


21/12/16
1448
lel0lel в сообщении #1681079 писал(а):
Поскольку $\operatorname{Tr} \frac{\partial}{\partial \lambda}\left((\lambda\hat{A}+\hat{B})(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)=\operatorname{Tr} \left(\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})+(\lambda\hat{A}+\hat{B})\hat{A})\right)=\operatorname{Tr} \left(2\hat{A}(\lambda\hat{A}+\hat{B})\right)$

а какая разница? Такое же рассуждение приводит к той формуле, что я выше выписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:10 
Заслуженный участник


20/04/10
1982
drzewo в сообщении #1681080 писал(а):
Такое же рассуждение приводит к той формуле, что я выше выписал.
Не вижу каким образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
drzewoВы неправы. Чтобы доказать "Вашу" формулу Вам придется посчитать слева след произведения типа $A^p B^q A^r B^s \dots$, а справа $A^m B^n $.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.04.2025, 16:20 
Админ форума


02/02/19
2894
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: задача по сути математическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:22 


21/12/16
1448
lel0lel в сообщении #1681083 писал(а):
Не вижу каким образом.

А я не вижу в Вашем тексте доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
drzewo в сообщении #1681087 писал(а):
А я не вижу в Вашем тексте доказательства.
lel0lel достаточно подробно описал доказательство. Мне оно не нравится поскольку оно через представление экспоненты через степенной ряд, т.е. плохо обобщается на неограниченные операторы, но оно есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:42 


21/12/16
1448
$$\frac{d}{dt}(tA+B)^n=\sum_{k=1}^n(tA+B)^{k-1}A(tA+B)^{n-k},$$
$$
\mathrm{tr}\,\frac{d}{dt}(tA+B)^n=\sum_{k=1}^n\mathrm{tr}\,(tA+B)^{k-1}A(tA+B)^{n-k}=\mathrm{tr}\,\sum_{k=1}^nA(tA+B)^{n-1}=n\mathrm{tr}\,A(tA+B)^{n-1},\quad n\in\mathbb N$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 16:48 
Заслуженный участник


20/04/10
1982
drzewo в сообщении #1681074 писал(а):
Т.е. Вы доказали, что $\mathrm{tr}\,e^{A+B}=\mathrm{tr}\,(e^Ae^B)$.
drzewo в сообщении #1681031 писал(а):
откуда дровишки, если не секрет, Блохинцев очередной?

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1680839 писал(а):
Padawan в сообщении #1680797 писал(а):
Ну если так, то да, будет. Я перепроверю.

Да, пожалуйста перепроверьте. Вы заявили, что у теорема, которую я сформулировал, ошибочна. Такие вещи либо доказывают либо извиняются.
:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 17:09 


21/12/16
1448
lel0lel
и что? Вы разобрали случай $(tA+B)^2$. Этого недостаточно. Доказательства у Вас нет, как я и сказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 17:36 
Заслуженный участник


20/04/10
1982

(Оффтоп)

:D drzewo
Я из машины набирал, с телефона. Неудобно суммы писать, можно в аварию попасть. Главное, что Вы всё-таки поняли о чём речь. Извинения не нужны (я же просто в шутку намекнул). На форуме дружная атмосфера, все друг друга поддерживают как могут, а ошибиться может любой участник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 20:19 


25/07/24
40
lel0lel в сообщении #1681079 писал(а):
дифференцируйте "на здоровье",

Понял, спасибо
Остался один вопрос
$\operatorname{Tr}(\exp(\lambda \hat{A} + \hat{B})) = \operatorname{Tr}(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\lambda \hat{A} + \hat{B})^n) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\operatorname{Tr}((\lambda \hat{A} + \hat{B})^n) $ $= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{n!}\frac{n!}{k!(n-k)!}\lambda^k \operatorname{Tr}(\hat{A}^k \hat{B}^{n-k})$


Как поменять местами знаки суммирования что бы получить коэффициент при $\lambda^k$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11485
Hogtown
PhysicsEnjoyer Ваша "биномиальная формула" неверна, если A и B не коммутируют!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 20:55 


21/12/16
1448
Я, например, понял объяснения lel0lel
ровно так , как их понял PhysicsEnjoyer.
Поэтому и запротестовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на след
Сообщение04.04.2025, 21:02 


25/07/24
40
Red_Herring
У меня все под операцией следа, поэтому можно использовать коммутацию. Или я не прав ?

-- 04.04.2025, 21:02 --

PhysicsEnjoyer в сообщении #1680985 писал(а):
Думаю что тут нужно использовать то что при взятии следа можно использовать коммутативность $ \operatorname{Tr(\hat{A}\hat{B})} =  \operatorname{Tr(\hat{B}\hat{A})} $

Ну и + свойство линейности следа

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group