Что делать, если я не умею думать нестанартно?

[мат-ламер]

chislo_avogadro в сообщении #1675032 писал(а):

Всё равно каждая особь в своём, так сказать, онтогенезе проходит стадию креативности. Постепенно она уходит в приватную сферу. А сделать что-то новое общезначимое - здесь "много званых да мало избранных".

Понятно, что ТС не собирается осчастливить человечество новым доказательством Великой теоремы Ферма. У него не получается решить задачи за первый курс алгебры. Возможно его предыдущий опыт подсказывает, что глядя на задачу, условие которой тебе понятно полностью, и вроде ты знаком с теорией, то отсюда следует, что ты должен увидеть какие-то подходы к решению. Отнюдь. Возьмём такую задачу (цитирую по памяти, вроде из Кострикина). Пусть у нас есть группа. И квадрат каждого элемента есть единица. Доказать, что группа коммутативна. Поскольку алгебра не входит в круг моих интересов, я так сразу не вижу, куда двигаться. Можно посоветовать не зацикливаться на том, что нужно доказать. А попробовать поэкспериментировать, что вообще можно выудить из условия. Дальше - а что можно выудить из того, что получилось. И т. д. Наверное, постепенно решая задачи одну за одной, можно улучшить свою "креативность" в области алгебры за первый курс. А может даже и за второй. То есть в голове отложится какой-то стандартный набор приёмов (которых ранее не было) решения задач. Называть это "креативностью" я бы не стал. И точно не надо комплексовать в виду отсутствия оной.

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1675078 писал(а):

Пусть у нас есть группа. И квадрат каждого элемента есть единица. Доказать, что группа коммутативна

Предположить, что $ab\ne ba$, но, с другой стороны, они взаимообратны, следовательно, равны в силу единственности обратного.

[Батороев]

Qwerty1230
Для того, чтобы научиться генерировать новые идей в своей области, надо настроить на это мозги.
Попробуйте пофантазировать на темы, которые Вам не знакомы.
Например, в чем преимущества формы космических кораблей в виде "тарелочек" по сравнению с сигарообразыми?

[мат-ламер]

Батороев в сообщении #1675145 писал(а):

Для того, чтобы научиться генерировать новые идей в своей области

Для начала ТС неплохо бы определиться со своей областью. Пока он нам рассказывал только про школьные олимпиадные задачи и курс алгебры. Чего-то у меня сомнения, что фантазирования на темы космических кораблей здесь помогут.

Батороев в сообщении #1675145 писал(а):

Попробуйте пофантазировать на темы, которые Вам не знакомы.

У вас есть опыт подобного?

Батороев в сообщении #1675145 писал(а):

Например, в чем преимущества формы космических кораблей в виде "тарелочек" по сравнению с сигарообразыми?

Масленников рассказывал в астрономических новостях, что планируются межзвёздные перелёты на космических кораблях именно в форме тарелочек. Там идея в том, что корабли в качестве источника энергии будут использовать луч лазера, который будет направлен им с Земли. У тарелочки больше площадь. Чего-то у меня сомнения. Много энергии так не передашь. Луч лазера ведь не строго параллельный. Для передачи информации может быть.

[Батороев]

мат-ламер в сообщении #1675204 писал(а):

Для начала ТС неплохо бы определиться со своей областью. Пока он нам рассказывал только про школьные олимпиадные задачи и курс алгебры. Чего-то у меня сомнения, что фантазирования на темы космических кораблей здесь помогут.

ТС сетует на то, что:

Qwerty1230 в сообщении #1673122 писал(а):

Мое мышление как будто сильно закостенелое и я не способен создавать принципиально новые идеи и решать что-то нестандартное, т.е. я не могу решать задачи, которые выходят за область моих знаний или требуют интуиции.

Это и сподвигло меня предложить ТС-у потренировать мозги, отвлекшись от математики.

(Оффтоп)

Зачастую некоторые люди становятся "рабами своих знаний", т.е. мыслят в основном догмами, отход "вправо-влево" от которых (т.е. нестандартное мышление) для них является чем-то неприемлемым. Как мне кажется, происходит это на уровне подсознания.

мат-ламер в сообщении #1675204 писал(а):

У вас есть опыт подобного?

Фантазировать я люблю и постоянно этим увлекаюсь. )

мат-ламер в сообщении #1675204 писал(а):

Масленников рассказывал в астрономических новостях, что планируются межзвёздные перелёты на космических кораблях именно в форме тарелочек.

Мне в качестве одного из преимуществ видится то, что разместив обитаемый отсек в одном из сегментов периферийной части тарелочки, можно "затенить" его от радиации (солнечной) остальной частью тарелочки. Поэтому антирадиационный слой обшивки этого отсека потребуется существенно более тонкий по сравнению с тем, который определяют для сигарообразных кораблей.

[мат-ламер]

Пример креативности при решении задач анализа за первый курс (из роликов канала "teach-in"). Студент решает задачу 2563 из Демидовича, в которой требуется исследовать на сходимость ряд $\sum 1/(n\sqrt{n+1})$ . При стандартном подходе (который мне пришёл в голову) этот ряд можно сравнить с рядом $\sum n^{-s}$ , который в учебниках рассматривается. Но до этой темы ещё не дошли (как следует из дальнейшего). Вызванный к доске студент начинает со сходящегося ряда $2\sum (1/\sqrt{n}-1/\sqrt{n+1})$ . Далее приводит дроби к общему знаменателю, домножает на сопряжённое выражение и сравнивает с исходным рядом. Но вопрос, каким именно способом можно было додуматься до такого исходного ряда? Я бы тут никогда не сообразил. Вот это пример истинной креативности

[Nirowulf]

Qwerty1230 в сообщении #1673122 писал(а):

или требуют интуиции

Ох, как отозвалось у меня!

У меня нет данной интуиции, отчего я долгое время горевал, учась на физфаке на теоретика и сравнивая себя с однокурсниками.

Вот вопрос, которым на 1-м курсе я мучил преподавателей и одногруппников: что надо в себе развить, чтобы видеть хитрые подстановки, которые позволяют взять конкретный неопределённый интеграл? Например, интеграл, требующий увидеть замену переменной $x=\sqrt{1+t^2}+\sqrt{t},$ и в таком духе. Как приобрести эту математическую интуицию?

Когда доказываем какую-то теорему, и для её доказательства требуется применение специальной леммы. Откуда мы поняли, что сначала надо доказать эту лемму? Она сваливается, как из ниоткуда.

Или, к примеру, теоремы, внутри доказательства которых применялось разбиение единицы. Как мы вдруг поняли, что тут для доказательства надо ни с того ни с сего привлечь такую топологическую конструкцию? По крайней мере в первый раз. Это при том, что топологии в базовой программе математики на физфаке нет.

Внятных ответов на эти вопросы я так и не получил...

Те одногруппники, которые эти замены видели, ничем не могли мне помочь. Они просто отвечали: ну вот такая замена решает интеграл, и всё. Из чего я заключил, что просто им либо от природы дана математическая интуиция, либо с самого детства она у них развивалась. Я же связал свою жизнь с физматом довольно поздно, после 9 класса, пойдя в физматшколу , и учится там мне было тяжело...

В итоге, признаюсь в страшной вещи (чувствительных форумчан-математиков просьба отвернуться, хехе): я после 1-го курса ни к одному экзамену по математике не готовил доказательства теорем. Мне казалось, что я всё равно не смогу воспроизвести их на экзамене, поскольку мне не хватает математической интуиции.

Как ни странно, большинство доказательств я понимал по ходу изложения на лекции и мог объяснить с конспектом на руках каждый шаг и каждый переход. Но без конспекта, вообще, никак. Моего уровня математического понимания не хватает, чтобы воспроизвести громоздкое доказательство на экзамене без конспекта, или же, другими словами, по факту самому доказать теорему, помня предпосылки доказательства.

А вот мои способные однокурсники это могли сделать. Ну, а те, кто пошёл на кафедру матфизики, так, вообще, без проблем.

[dgwuqtj]

Nirowulf в сообщении #1678588 писал(а):

Как приобрести эту математическую интуицию?

Решать задачи надо, больше никак.

Nirowulf в сообщении #1678588 писал(а):

Откуда мы поняли, что сначала надо доказать эту лемму? Она сваливается, как из ниоткуда.

При первом знакомстве с предметом вы это и не обязаны понимать. Вот если самому решить много задач на доказательство, будет легче. Хотя я не знаю, что в этом плане вообще ожидают от студентов-физиков.

[angor6]

Nirowulf
В теперешней Вашей деятельности Вам мешает неумение думать нестандартно?

[мат-ламер]

Nirowulf в сообщении #1678588 писал(а):

Вот вопрос, которым на 1-м курсе я мучил преподавателей и одногруппников: что надо в себе развить, чтобы видеть хитрые подстановки, которые позволяют взять конкретный неопределённый интеграл? Например, интеграл, требующий увидеть замену переменной $x=\sqrt{1+t^2}+\sqrt{t},$ и в таком духе. Как приобрести эту математическую интуицию?

Тут бы не попутать интуицию и знания. Если подстановки отражены в доступной вам литературе, то это знания, которые вы можете иметь, а может и нет. В противном случае - уже интуиция. Вспоминаю, что где-то видел интеграл от дроби. Но знаменатель просто на множители не разлагается. В ответе подсказка - примените подстановку $x=t-1/t$ . В учебнике такой подстановки нет (для интегрирования дробей). Это уже интуиция (по крайней мере, для меня). Нужна ли она такая и как её приобрести - большой вопрос.

-- Сб мар 15, 2025 21:27:46 --

Ну, бывают неопределённые интегралы, требующие для решения интуицию. Как пример: $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$ (Демидович, 1935) . Не уверен, что по нынешним временам это искусство востребовано. Хотя, для физика-теоретика - может быть.

-- Сб мар 15, 2025 21:31:52 --

Nirowulf в сообщении #1678588 писал(а):

В итоге, признаюсь в страшной вещи (чувствительных форумчан-математиков просьба отвернуться, хехе): я после 1-го курса ни к одному экзамену по математике не готовил доказательства теорем.

А что, их можно как-то готовить Ну, прочёл, понял суть. А больше - зачем? Что экзаменуем - память?

[Nirowulf]

dgwuqtj в сообщении #1678647 писал(а):

Решать задачи надо, больше никак.

Полагаю, Вы правы. Я считаю, что я руку так и не "набил" как следует, к сожалению.

angor6 в сообщении #1678655 писал(а):

В теперешней Вашей деятельности Вам мешает неумение думать нестандартно?

В теперешней, думаю, нет. Моя деятельность хоть и содержит в себе различные флуктуации, но, в целом, довольно однообразна и лежит в определённом русле. Можно предположить, что были ситуации, которые я мог бы разрешить эффективнее и эффектнее, мысля нестандартно, но поскольку я так не мыслю, то я такие ситуации и не могу опознать=)

Однако, неумение думать нестандартно и отсутствие математической интуиции однозначно помешали мне состояться как физик-теоретик... Отмечу сразу, что это не единственные факторы, которые этому помешали!

мат-ламер в сообщении #1678714 писал(а):

Не уверен, что по нынешним временам это искусство востребовано. Хотя, для физика-теоретика - может быть.

Несмотря на развитие всяких систем компьютерной алгебры и прочего, личное владение математическим аппаратом для физика-теоретика невероятно важно.

мат-ламер в сообщении #1678714 писал(а):

А что, их можно как-то готовить Ну, прочёл, понял суть. А больше - зачем? Что экзаменуем - память?

Собственно, учить их к экзамену. Ведь если в билете на экзамене попадается теорема, то спрашивают не только её формулировку, но и доказательство. По крайней мере у нас так было.

Вообще, хороший вопрос. Если я, как уже писал, понимаю доказательство теоремы и каждый шаг с конспектом на руках, но без конспекта не могу воспроизвести? Может, это означает, что на самом деле я доказательство и его суть не понимаю?

[lel0lel]

Разве теоретики должны только нестандартно мыслить? Пишешь какой-нибудь новый инвариантный лагранжиан (с вымышленным взаимодействием, модель потом придумается под него) и решай себе получающиеся уравнения, применяй во всей красе численные методы. Или, хочешь -- рисуй диаграммы Феймана в старших порядках, которые не особенно кем-то посчитаны (за малостью вклада в наблюдения), и тоже считай-практикуйся.

Nirowulf в сообщении #1678741 писал(а):

Вообще, хороший вопрос. Если я, как уже писал, понимаю доказательство теоремы и каждый шаг с конспектом на руках, но без конспекта не могу воспроизвести? Может, это означает, что на самом деле я доказательство и его суть не понимаю?

Мыслить нестандартно или стандартно тут не причём. Нужно было сесть с ручкой и бумагой и записывать по памяти доказательство, хотя бы его структуру. Вы просто не заучивали материал, а при его большом объёме, почти невозможно, поняв его один раз при чтении, потом аккуратно воспроизвести.

Nirowulf в сообщении #1678741 писал(а):

Однако, неумение думать нестандартно и отсутствие математической интуиции однозначно помешали мне состояться как физик-теоретик...

Думаю, что это кажущееся чувство. Просто для Вас это не было первостепенным приоритетом.

[Nirowulf]

lel0lel в сообщении #1678742 писал(а):

Разве теоретики должны только нестандартно мыслить? Берёшь какой-нибудь новый инвариантный лагранжиан (с вымышленным взаимодействием, модель потом придумается под него) и решай себе получающиеся уравнения, применяй во всей красе численные методы. Или, хочешь -- рисуй диаграммы Феймана в старших порядках, которые не особенно кем-то посчитаны (за малостью вклада в наблюдения), и тоже считай-практикуйся.

Конечно, деятельность теоретика не сводится только к нестандартному мышлению, иначе бы я, вообще, не смог никакой наукой позаниматься=) Вы правы, есть много технических вещей, которые, в принципе, известно как делать. Тем не менее внутри эти вещей в любом случае могут встречаться "подзадачи", требующие чего-то нестандартного.

lel0lel в сообщении #1678742 писал(а):

Вы просто не заучивали материал

Я и говорю, что был настолько демотивирован отсутствием математического понимания, что посчитал бесполезным учить доказательства.

[lel0lel]

Nirowulf в сообщении #1678744 писал(а):

Тем не менее внутри этих вещей в любом случае могут встречаться "подзадачи", требующие чего-то нестандартного.

Это нормально, и так у всех. Вы же не один бы занимались задачей, а внутри какого-то научного коллектива кафедры или института. Кто-нибудь более опытный подсказал бы что-то дельное. Да и саму постановку задачи зачастую предлагает руководитель. А со временем, если бы появилось желание, могли бы уйти в свободное плавание) Хотя, многим это и не нужно, прекрасно публикуют работы в соавторстве с ещё несколькими коллегами.

[Alex-Yu]

мат-ламер в сообщении #1678714 писал(а):

Это уже интуиция (по крайней мере, для меня). Нужна ли она такая и как её приобрести - большой вопрос.

А никакого вопроса! Вся эта "интуиция" сводится к одному: тупому перебору вариантов. Десятки, сотни, тысячи вариантов... Для этого желательно научится, делать это в уме. Тогда можно в автобусе, на обеде и даже во сне. А для того, чтобы делать в уме, надо научиться делать в общих чертах, не обращая (пока) внимания на мелочи. Типа "там получится что-то вроде такого, с непонятно каким коэффициентом, но, наверное, этот коэффициент можно будет как-то найти"... При этом важно не бояться пойти неверной дорогой. И безжалостно с этой неверной дороги свернуть при необходимости. Помнится, я читал где-то такую фразу А.Эйнштейна: "самое главное качество, необходимое теоретику, это способность выкинуть в мусорную корзину результат многолетнего труда".

В общем тут нужно в основном упрямство, вопросом надо "заболеть" и из последних сил искать на него ответ. Круглосуточно, упрямо, наплевав на весь остальной мир. Правда, такое обычно вызывает серьезные социальные проблемы (в семье, в частности).