2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Первый замечательный предел
Сообщение02.03.2025, 01:54 


02/03/25
7
Не уверен, что правильно - спросить в этой ветке или создать новую тему...

Насколько корректно следующее:

Считаем, что углы измеряются в долях развернутого угла (1 соответствует 180 градусам) и верны следующие утверждения:

  • Функция $\sin(x) / x$ монотонно возрастает при стремлении $x$ к нулю.
  • Существует предел последовательности $s(n) = \sin(1 / 2^n)/(1 / 2^n).

Второе - это предел площадей вписанных в окружность правильных $2^n$-угольников - предел монотонно возрастающей ограниченной последовательности. О многоугольниках и их площадях забываем - теперь это просто монотонно возрастающая ограниченная последовательность.

Первое надо доказать. Это возможно, но прежде надо убедиться в правильности плана.

Из этих двух утверждений следует, что функция $\sin(x) / x$ имеет предел в точке $x = 0$ и он равен пределу последовательности $s(n)$ (числу $\pi$).

Всюду ниже полагается, что $x > 0$. Функция четная, при отрицательных аргументах все аналогично.

Во-первых, функция ограничена сверху числом $\pi$. Если предположить, что существует $x_1: \sin(x_1) / x_1\geqslant \pi,$
то существует номер $n_1: 1 / 2^{n_1} < x_1$ и $s(n_1) > \sin(x_1) / x_1 \geqslant \pi$. Но $\forall n_1 s(n_1) < \pi$ и предположение неверно.

Если предположить, что предел не существует или он иной, то существует $m > 0$ и сколь угодно малые $x: \sin(x) / x \leqslant \pi - m$.
Можно найти номер $n_2: s(n_2) > \pi - m$ и малое $x_2 < 1 / 2^{n_2}: \sin(x_2) / x_2 \leqslant \pi - m$ (по предположению).
Но в силу монотонности $\sin(x_2) / x_2 > s (n_2) > \pi - m$. Т.е. и это предположение неверно, предел существует и равен пределу $s(n)$.

Надеюсь, опечаток нет...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.03.2025, 10:49 
Админ форума


02/02/19
2910
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.03.2025, 19:50 
Админ форума


02/02/19
2910
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение04.03.2025, 00:22 
Заслуженный участник


07/08/23
1410
avhohlov в сообщении #1677143 писал(а):
Надеюсь, опечаток нет...

Всё верно: если у монотонной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то вся последовательность сходится. Для функций тоже работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение04.03.2025, 07:21 


21/12/16
1463

(Оффтоп)

Вот эти школьные пляски с бубном вокруг строгого построения теории длины окружности и первого замечательного предела бесполезны дважды. Они трудны и не нужны школьникам для решения задач и они не нужны в <<высшей математике>>. Потому, что при необходимости в <<высшей математике>> эта теория восстанавливается тривиально из общих соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение05.03.2025, 01:12 


02/03/25
7
drzewo

Предлагаю вопрос о трудности отложить на некоторое время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение05.03.2025, 02:10 


21/12/16
1463
Разумеется, просто Вам надо объяснить цель Вашего творчества. Для школьников Вы пишите, для студентов, для кого?
Ну и вот еще на всякий случай: https://dxdy.ru/topic159914.html

 Профиль  
                  
 
 Первый замечательный предел - продолжение
Сообщение05.03.2025, 03:33 


02/03/25
7
Выше использовалась, но не была доказана (строгая) монотонность функции $\sin(x) / x$.

Прямое вычисление разности значений в двух точках приводит к необходимости оценки знака разности $\sin(\delta) / \delta - \tg(x) / x$. Не ясно, как это сделать, но известно, что для аргументов вида $1 / 2^n$ монотонность есть. Может быть, она есть и для аргументов вида $k / 2^n$? Если удастся это доказать (а это возможно), то можно доказать монотонность для любых аргументов:

Итак, верны следующие утвеждения:

  • Функция $\forall x>0 \sin(x) / x$ непрерывна.
  • $\forall k_1 < k_2 < n \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) > \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)$.

Допустим, строгого монотонного убывания нет, т.е. $\exists x_1 < x_2: \sin(x_1) / x_1 \leqslant  \sin(x_2) / x_2$.

Сначала рассмотрим точное неравенство, т.е. $\sin(x_2) / x_2 - \sin(x_1) / x_1 = m > 0$.

Выберем столь хорошие приближения чисел $x_1$ и $x_2$ двоичными дробями $k_1 / 2 ^n$ и $k_2 / 2 ^n$, что значения функции в них отличаются от значений в самих точках $x_1$ и $x_2$ менее, чем на $m / 2$:
$$\begin{array}{l} \exists k_1, k_2, n: x_1 < k_1 / 2^n < k_2 / 2^n < x_2, \\ \lvert \sin(x_1) / x_1 - \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n)\rvert < m /2, \\ \lvert\sin(x_2) / x_2 - \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)\rvert < m /2\end{array} $$.
В силу непрерывности функции это возможно. Но тогда
$$\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) < \sin(x_1) / x_1 + m / 2 = \sin(x_2) / x_2 - m / 2 < \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)$$
И это противоречит второму утвердению (монотонному убыванию для аргументов вида $k / 2^n$).

Случай равенства т.е. $\sin(x_1) / x_1 = \sin(x_2) / x_2$ сводится к предыдущему. Для этого достаточно найти любые $k_1, k_2, n :  x_1 < k_1 / 2^n < k_2 / 2^n < x_2$ и сравнить значения функции в точках $x_1$ и $k_1 / 2^n$.

Если $\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) \leqslant \sin(x_1) / x_1$, то $$\sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n) < \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) \leqslant \sin(x_2) / x_2$$ и заменой точки $x_1$ на $k_2 / 2^n$ приходим к точному неравенству.

Иначе, если $\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) > \sin(x_1) / x_1$, то заменой $x_2$ на $k_1 / 2^n$ тоже приходим к точному неравенству.

Возможно, имело смысл определить функцию $s(x) = \sin(x) / x$? Получилось длинно,
если существует некий простой способ оценки знака разности $\sin(\delta) / \delta - \tg(x) / x$, то это упростило бы дело. Но в любом случае осталось уже немного...

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение05.03.2025, 06:57 


21/12/16
1463
avhohlov в сообщении #1677493 писал(а):
Но в любом случае осталось уже немного...

Осталось объяснить, чем это токование лучше стандартного геометрического вывода, изложенного во всех учебниках или
матаналитических способов построения тригонометрии типа
того, что я привел выше, или, скажем, такого:
$$\arcsin x:=\int _0^x\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}},\quad |x|<1.$$
Еще несколько стандартных способов разбросаны по форуму, можно поискать.
Очередной не-читатель-а-писатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 00:59 


02/03/25
7
drzewo
Два вопроса:

1. Почему $\int\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}}$, а не $\int\sqrt{1-s^2}{ds}$?
2. Можно ли вычислить первообразную без умения вычислять производную синуса?

P.S. Без вычисления первообразной можно вычислить предел отношения прощади сектора к площади вписанного в него треугольника - была статья об этом (правда там вычислялся предел длины дуги к длине хорды - но это сути не меняет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 01:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3320
avhohlov в сообщении #1677617 писал(а):
была статья об этом (правда там вычислялся предел длины дуги к длине хорды - но это сути не меняет).
Э... вы имеете в виду статью в популярном журнале типа "Квант" или "Математическое просвещение" ? Можно узнать подробности --- в каком журнале, когда, и т.п. (координаты статьи, короче) ?

 Профиль  
                  
 
 Первый замечательный предел - окончание
Сообщение06.03.2025, 02:36 


02/03/25
7
Осталось показать, что для аргументов вида $k / 2^n$ функции $\sin(x) / x$ строго монотонна. Вычислим разность $\sin(k / 2^n + 1 / 2^n) / (k / 2^n + 1 / 2^n) - \sin(k / 2^n) / (k / 2^n)$.

Используя формулу для синуса суммы углов и приводя к общему знаменателю $k (k + 1) / 2^n$ получим, что определяющий знак результата числитель отрицателен:
$$\begin{array}{l} k \sin(k / 2^n) \cos(1 / 2^n) + k \cos(k / 2^n) \sin(1 / 2^n) - k \sin(k / 2^n) - \sin(k / 2^n)  = \\\\
k \sin(k / 2^n) (\cos(1 / 2^n) - 1)+ k \cos(k / 2^n) (\sin(1 / 2^n) - \tg(k / 2^n) / k) \leqslant \\\\
k \sin(k / 2^n) (\cos(1 / 2^n) - 1)+ k \cos(k / 2^n) (\sin(1 / 2^n) - \tg(1 / 2^n)) < 0
 \end{array}$$
Здесь использовано, что $\tg(k / 2^n) \geqslant k \tg(1/ 2^n)$, что тоже доказывается прямым вычислением ($k > 0$):
$$\begin{array}{l} \tg(k / 2^n + 1 / 2^n) - \tg(k / 2^n) = \\\\ 
\frac {\sin(k / 2^n + 1 / 2^n)} {\cos(k / 2^n + 1 / 2^n)} - \tg(k / 2^n) = \\\\
\frac {\sin(k / 2^n) \cos(1 / 2^n) + \cos(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} {\cos(k / 2^n) \cos(1 / 2^n) - \sin(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} - \tg(k / 2^n) = \\\\
\tg(k / 2^n) (\frac {\cos(1 / 2^n) + \ctg(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} {\cos(1 / 2^n) - \tg(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} - 1) = \\\\
\tg(k / 2^n) \frac {\cos(1 / 2^n) + \ctg(k / 2^n) \sin(1 / 2^n) -\cos(1 / 2^n) + \tg(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} {\cos(1 / 2^n) - \tg(k / 2^n) \sin(1 / 2^n)} = \\\\
\tg(k / 2^n) \frac {\sin(1 / 2^n) (\ctg(k / 2^n) + \tg(k / 2^n))} {\cos(1 / 2^n) (1 - \tg(k / 2^n) \tg(1 / 2^n))} = \\\\
\tg(1 / 2^n) \frac {1 + \tg^2(k / 2^n)} {1 - \tg(k / 2^n) \tg(1 / 2^n)} > \tg(1 / 2^n)
 \end{array}$$
Каждое добавление $1 /2^n$ к аргументу увеличивает значение тагенса более чем на $\tg(1 / 2^n)$, что и доказывет неравенство. Вместо $1 /2^n$ здесь можно использовать любое малое число, но $k$ должно быть натуральным.

Непрерывность синуса в точке $x  =0$ можно установить используя только монотонность и существование сходящейся к нулю последовательности значений $\lbrace\sin(1 / 2^n)\rbrace$ и не используя соотношение между значением функции и аргументом.

Опять длинно получилось.

-- 06.03.2025, 02:53 --

vpb
  • Ю.И.Любич "Два замечательных предела" "Математическое Просвещение" Третья серия Выпуск 4 2000 г. - скорее всего, здесь есть правильное решение.
  • И.И.Астахова и В.А.Иванов "Парадоксы первого замечательного предела", "Математическое образование" (№3(63) июль-сентябрь 2012 г.) - это то, что я имел ввиду.
  • С. В. Шведенко, Две заметки по математическому анализу, "Математическое образование" (№3-4(59-60)
    июль-декабрь 2011 г.) - это я пока не оценил, но здесь геометрия.
  • https://dxdy.ru/topic57894-15.html

Поиском все ищется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2419
МО
avhohlov
Чем, все-таки, Вас не устраивает общеизвестное рассуждение (площадь сектора ограничена сверху и снизу площадями двух прямоугольных треугольников)?
Отсюда сразу получается
$\cos x \le \frac{\sin x} {x} \le \frac {1}{\cos x} $
и предел. Что не так?
Монотонность $\frac{\sin x} {x}$ при этом проверять нет нужды :о

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 16:23 


21/12/16
1463
пианист в сообщении #1677625 писал(а):
Чем, все-таки, Вас не устраивает общеизвестное рассуждение (площадь сектора ограничена сверху и снизу площадями двух прямоугольных треугольников)?

Позволю себе влезть в вопрос, заданный не мне. Судя по всему, то, что их не устраивает сформулировано тут:
avhohlov в сообщении #1677620 писал(а):
И.И.Астахова и В.А.Иванов "Парадоксы первого замечательного предела", "Математическое образование" (№3(63) июль-сентябрь 2012 г.)

И я думаю, что проблемы, которые они в этой статье поднимают не бессмысленны.
Другое дело, что эти ребята и ТС в том числе, не знают анализа и не понимают как
эти проблемы решаются его средствами. Такой вывод я делаю из их критики вузовских учебников и их собственного решения.

(Оффтоп)

А так я думаю, что любой математик должен выдавить из себя по капле школьную программу и заменить ее целостной непротиворечивой картиной математического мира на уровне современных стандартов строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 16:35 
Заслуженный участник


18/01/15
3320
avhohlov
Спасибо за ссылки !

Посмотрел я эти статьи. Увы, ни одна из них не удовлетворительна, с моей точки зрения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group