2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2411
МО
drzewo
А, понятно, спасибо.
Ну да, не бессмысленные. Только это же ведь первый семестр, вполне достаточно интуитивной понятности. Позже, когда и если потребуется, разберутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение10.03.2025, 18:58 


02/03/25
7
vpb
Тем не менее, в статье Любича есть доказательство. Я ее точно видел раньше, но не понял.Возможно, она переусложнена.

В статье вводится понятие "скейлинга" и используется понятие выпуклой (вниз) функции. Направление выпуклости не указано словами, я был уверен, что синус при малых положительных аргументах есть функция выпуклая. Путаница со знаками в формулах (7) и (11) имеет место быть.

Из выпуклости и нулевого значения в нуле следует монотонность:
$$\sin(\lambda x_2) > \lambda \sin(x_2), \lambda < 1$$
Заменяя $\lambda x_2$ на $x_1$ получим
$$\sin(x_1) > (x_1 / x_2) \sin(x_2), 0 < x_1 < x_2$$т.е.$$\sin(x_1) / x_1 > \sin(x_2) / x_2, 0 < x_1 < x_2$$

Сама же выпуклость следует из непрерывности синуса и формулы для синуса суммы углов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение12.03.2025, 02:14 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
avhohlov
Сейчас у меня мало времени, но вскоре, надеюсь, я по данной теме напишу кое-что поподробнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group