Первый замечательный предел

[avhohlov]

Не уверен, что правильно - спросить в этой ветке или создать новую тему...

Насколько корректно следующее:

Считаем, что углы измеряются в долях развернутого угла (1 соответствует 180 градусам) и верны следующие утверждения:

• Функция $\sin(x) / x$ монотонно возрастает при стремлении $x$ к нулю.
• Существует предел последовательности $s(n) = \sin(1 / 2^n)/(1 / 2^n).

Второе - это предел площадей вписанных в окружность правильных $2^n$-угольников - предел монотонно возрастающей ограниченной последовательности. О многоугольниках и их площадях забываем - теперь это просто монотонно возрастающая ограниченная последовательность.

Первое надо доказать. Это возможно, но прежде надо убедиться в правильности плана.

Из этих двух утверждений следует, что функция $\sin(x) / x$ имеет предел в точке $x = 0$ и он равен пределу последовательности $s(n)$ (числу $\pi$).

Всюду ниже полагается, что $x > 0$. Функция четная, при отрицательных аргументах все аналогично.

Во-первых, функция ограничена сверху числом $\pi$. Если предположить, что существует $x_1: \sin(x_1) / x_1\geqslant \pi,$
то существует номер $n_1: 1 / 2^{n_1} < x_1$ и $s(n_1) > \sin(x_1) / x_1 \geqslant \pi$. Но $\forall n_1 s(n_1) < \pi$ и предположение неверно.

Если предположить, что предел не существует или он иной, то существует $m > 0$ и сколь угодно малые $x: \sin(x) / x \leqslant \pi - m$.
Можно найти номер $n_2: s(n_2) > \pi - m$ и малое $x_2 < 1 / 2^{n_2}: \sin(x_2) / x_2 \leqslant \pi - m$ (по предположению).
Но в силу монотонности $\sin(x_2) / x_2 > s (n_2) > \pi - m$. Т.е. и это предположение неверно, предел существует и равен пределу $s(n)$.

Надеюсь, опечаток нет...

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[dgwuqtj]

avhohlov в сообщении #1677143 писал(а):

Надеюсь, опечаток нет...

Всё верно: если у монотонной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, то вся последовательность сходится. Для функций тоже работает.

[drzewo]

(Оффтоп)

Вот эти школьные пляски с бубном вокруг строгого построения теории длины окружности и первого замечательного предела бесполезны дважды. Они трудны и не нужны школьникам для решения задач и они не нужны в <<высшей математике>>. Потому, что при необходимости в <<высшей математике>> эта теория восстанавливается тривиально из общих соображений.

[avhohlov]

drzewo

Предлагаю вопрос о трудности отложить на некоторое время.

[drzewo]

Разумеется, просто Вам надо объяснить цель Вашего творчества. Для школьников Вы пишите, для студентов, для кого?
Ну и вот еще на всякий случай: https://dxdy.ru/topic159914.html

[avhohlov]

Выше использовалась, но не была доказана (строгая) монотонность функции $\sin(x) / x$.

Прямое вычисление разности значений в двух точках приводит к необходимости оценки знака разности $\sin(\delta) / \delta - \tg(x) / x$. Не ясно, как это сделать, но известно, что для аргументов вида $1 / 2^n$ монотонность есть. Может быть, она есть и для аргументов вида $k / 2^n$? Если удастся это доказать (а это возможно), то можно доказать монотонность для любых аргументов:

Итак, верны следующие утвеждения:

• Функция $\forall x>0 \sin(x) / x$ непрерывна.
• $\forall k_1 < k_2 < n \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) > \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)$.

Допустим, строгого монотонного убывания нет, т.е. $\exists x_1 < x_2: \sin(x_1) / x_1 \leqslant \sin(x_2) / x_2$.

Сначала рассмотрим точное неравенство, т.е. $\sin(x_2) / x_2 - \sin(x_1) / x_1 = m > 0$.

Выберем столь хорошие приближения чисел $x_1$ и $x_2$ двоичными дробями $k_1 / 2 ^n$ и $k_2 / 2 ^n$, что значения функции в них отличаются от значений в самих точках $x_1$ и $x_2$ менее, чем на $m / 2$:

$$\begin{array}{l} \exists k_1, k_2, n: x_1 < k_1 / 2^n < k_2 / 2^n < x_2, \\ \lvert \sin(x_1) / x_1 - \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n)\rvert < m /2, \\ \lvert\sin(x_2) / x_2 - \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)\rvert < m /2\end{array} $$

.
В силу непрерывности функции это возможно. Но тогда

$$\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) < \sin(x_1) / x_1 + m / 2 = \sin(x_2) / x_2 - m / 2 < \sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n)$$

И это противоречит второму утвердению (монотонному убыванию для аргументов вида $k / 2^n$).

Случай равенства т.е. $\sin(x_1) / x_1 = \sin(x_2) / x_2$ сводится к предыдущему. Для этого достаточно найти любые $k_1, k_2, n : x_1 < k_1 / 2^n < k_2 / 2^n < x_2$ и сравнить значения функции в точках $x_1$ и $k_1 / 2^n$.

Если $\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) \leqslant \sin(x_1) / x_1$, то

$$\sin(k_2 / 2^n) / (k_2 / 2^n) < \sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) \leqslant \sin(x_2) / x_2$$

и заменой точки $x_1$ на $k_2 / 2^n$ приходим к точному неравенству.

Иначе, если $\sin(k_1 / 2^n) / (k_1 / 2^n) > \sin(x_1) / x_1$, то заменой $x_2$ на $k_1 / 2^n$ тоже приходим к точному неравенству.

Возможно, имело смысл определить функцию $s(x) = \sin(x) / x$? Получилось длинно,
если существует некий простой способ оценки знака разности $\sin(\delta) / \delta - \tg(x) / x$, то это упростило бы дело. Но в любом случае осталось уже немного...

[drzewo]

avhohlov в сообщении #1677493 писал(а):

Но в любом случае осталось уже немного...

Осталось объяснить, чем это токование лучше стандартного геометрического вывода, изложенного во всех учебниках или
матаналитических способов построения тригонометрии типа
того, что я привел выше, или, скажем, такого:

$$\arcsin x:=\int _0^x\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}},\quad |x|<1.$$

Еще несколько стандартных способов разбросаны по форуму, можно поискать.
Очередной не-читатель-а-писатель.