Неравенство ege.fipi.ru Номер: 1EF816

[Smolk78]

Вспоминаю как неравенства решать.
$\log_{10}(x+5) + \log_{2^2+10^x+25^2}2 \geq \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} \log_2(x+5) + \log_{(x+5)^2} 2 \geq \frac{3}{4}$

$\log_2(x+5) + 2 \log_{(x+5)} 2 - 3 \geq 0$

$\log_2(x+5) + 2 \cdot \frac{\log_2^2}{\log_2(x+5)} - 3 \geq 0$

$\log_2(x+5) = T$

$T + 2 \cdot \frac{1}{T} - 3 \geq 0$

$\frac{T^2 + 2 - 3T}{T} \geq 0$

$(T-1)(T-2) \geq 0$

$T \neq 0$

$\begin{cases} T > 0, & \text{$\log_2(x+5) > 0$;} \\ T \leq 1, & \text{$\log_2(x+5) \leq 1$;} \\ T \geq 2, & \text{$\log_2(x+5) \geq 2$.} \end{cases}$

$x \in ???$



Нашел, что ответ $(-4;-3] \cup [-1;+\infty)$
Наверное, я забыл как правильно их решать, но тут:

я не вижу пересечения всех трех неравенств.

Я что-то не правильно понимаю? Можете объяснить пожалуйста?

[wrest]

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

Простите, что ссылками, но img не пускает.

Img для формул не надо. Надо так:
$Вот преобразованный текст в формате LaTeX: \[ \log_{10}(x+5) + \log_{2^2+10^x+25^2} \geq \frac{3}{4} \] \[ \frac{1}{4} \log_2(x+5) + \log_{(x+5)^2} 2 \geq \frac{3}{4} \] \[ \log_2(x+5) + 2 \log_{(x+5)} 2 - 3 \geq 0 \] \[ \log_2(x+5) + 2 \cdot \frac{\log_2^2}{\log_2(x+5)} - 3 \geq 0 \] \[ \log_2(x+5) = T \] \[ T + 2 \cdot \frac{1}{T} - 3 \geq 0 \] \[ \frac{T^2 + 2 - 3T}{T} \geq 0 \] \[ (T-1)(T-2) \geq 0 \] \[ T \neq 0 \] \[ \begin{cases} T > 0 & \log_2(x+5) > 0 \\ T \leq 1 & \log_2(x+5) \leq 1 \\ T \geq 2 & \log_2(x+5) \geq 2 \end{cases} \] \[ x \in ??? \] $
Конвертировано из вашей картинки при помощи deepseek.


Картинки вставляются так:

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Пожалуйста, перепишите условия и ключевые моменты решения непосредственно в пост, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[мат-ламер]

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

Вспоминаю как неравенства решать.
$\log_{10}(x+5) + \log_{2^2+10^x+25^2}2 \geq \frac{3}{4}$

После того, как записали условие задачи, полезно прочитать набранное и сравнить с задачником.

[Smolk78]

мат-ламер в сообщении #1677345 писал(а):

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

Вспоминаю как неравенства решать.
$\log_{10}(x+5) + \log_{2^2+10^x+25^2}2 \geq \frac{3}{4}$

После того, как записали условие задачи, полезно прочитать набранное и сравнить с задачником.

Там x в квадрате, а не 2 в квадрате в основании логарифма. Опечатался в посте, но на ход решения опечатка не влияет.

[мат-ламер]

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

Нашел, что ответ $(-4;-3] \cup [-1;+\infty)$

После того, как вы нашли ответ, сравните его с ответом в задачнике. Если ответы совпадают, то уже хорошо.

-- Вт мар 04, 2025 07:59:45 --

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

но тут:

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

я не вижу пересечения всех трех неравенств.

Чтобы что-то увидеть в рисунке, который вы сами и нарисовали, полезно подумать о смысле нарисованного.

-- Вт мар 04, 2025 08:06:08 --

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

я не вижу пересечения всех трех неравенств.

Если вас что-то смущает, то полезно разобраться, что именно смущает и какое это отношение имеет к решаемой задаче. Вроде в ней про пересечение неравенств не спрашивали.

[drzewo]

Smolk78 в сообщении #1677346 писал(а):

Там x в квадрате, а не 2 в квадрате в основании логарифма. Опечатался в посте,

Да, опечатались и не один раз.

Smolk78 в сообщении #1677346 писал(а):

но на ход решения опечатка не влияет.

Это что значит? Если Вам что $x$, что $2$ -- все едино, то о чем вообще с Вами разговаривать.

[Smolk78]

мат-ламер в сообщении #1677350 писал(а):

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

я не вижу пересечения всех трех неравенств.

Чтобы что-то увидеть в рисунке, который вы сами и нарисовали, полезно подумать о смысле нарисованного.

Спасибо, что подсказали обратить на это внимание. Я бездумно написал систему. Нужно найти решение при Т>0 и Т<=1 + решение при Т>=2, а не Т>0 и Т<=1 и Т>=2. Думаю так будет правильно.

[мат-ламер]

Smolk78 в сообщении #1677366 писал(а):

Спасибо, что подсказали обратить на это внимание. Я бездумно написал систему.

Я вчера смотрел какой-то ролик на Ютубе (математический канал - то ли Савватеева, то ли Лапласа). Прозвучала такая мысль - математика - это не про формулы, это про идеи. Формулы вы можете и забыть (может даже и сразу после сдачи экзамена), а идеи человеческий мозг запоминает гораздо легче и впоследствии они могут не раз пригодиться. Вот вам надо решить некое неравенство. Вы нарисовали какие-то линии на рисунке и недоумеваете, почему вы не видите в этом рисунке пересечение неравенств. Теперь встаньте на нашу сторону. Откуда нам знать, что за "пересечение" вы рассматриваете и вообще, под каким углом его рассматривать, чтобы там увидеть что-то полезное? И вообще, в каком порядке рассматривать ваши картинки? Вы бы их (и ваши формулы) хоть каким-то текстом сопроводили. А то как мы можем решить, что вы понимаете, а что нет, если в вашем посту минимум сопроводительного текста. Разберитесь прежде всего в идеях - что рисуется и для чего именно. А бездумное манипулирование формулами - это вторично.

Теперь касаемо опечаток в условии. Опять же, встаньте на нашу сторону. Заходит на форум человек с намерением вам помочь. И видит, что первая строка условия ну никак не согласуется со второй. И как он после этого будет вам помогать? Хотя, возможно в наборе ошибся пресловутый DeepSeek, а не вы. Но вы то должны после него проверить.

[Smolk78]

мат-ламер в сообщении #1677367 писал(а):

Я вчера смотрел какой-то ролик на Ютубе (математический канал - то ли Савватеева, то ли...

У меня есть пробелы в понимании математики и тему я создал, чтобы разобраться.

Согласен, очень небрежно оформил тему, с опечатками. У меня нет опыта в постинге на форумах.

А если говорить конкретно об опечатке, то как я понимаю редактирование темы уже невозможно, а пересоздавать - сомнительная идея. Нужно было просто перепроверить.

Спасибо, что обратили внимание на эту тему.

[Ende]

Smolk78 в сообщении #1677368 писал(а):

А если говорить конкретно об опечатке, то как я понимаю редактирование темы уже невозможно, а пересоздавать - сомнительная идея. Нужно было просто перепроверить.

Вы можете создать новый пост с правильным условием в этой же теме. Объясняю как это сделать, чтобы не перепечатывать все заново:
1. В посте, который хотите запостить заново в исправленном виде, жмете кнопку "Цитата".
2. В открывшемся окне будет полный текст поста, включая код всех формул.
3. Копируете то, что хотите скопировать, исправляете и постите заново.

[мат-ламер]

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

$\frac{T^2 + 2 - 3T}{T} \geq 0$

Smolk78. Чтобы вам тут помогли, советую выложить сюда свои содержательные попытки этого неравенства относительно $T$ (с пояснениями). Если вопрос для вас труден, то может сначала учебник почитать?

[Smolk78]

мат-ламер в сообщении #1677436 писал(а):

Smolk78 в сообщении #1677244 писал(а):

$\frac{T^2 + 2 - 3T}{T} \geq 0$

Smolk78. Чтобы вам тут помогли, советую выложить сюда свои содержательные попытки этого неравенства относительно $T$ (с пояснениями). Если вопрос для вас труден, то может сначала учебник почитать?

Думаю, что правильно будет следующее решение:

Есть неравенство
$\frac{T^2+2-3T}{T}\geqslant0$

Для его решения нужно найти $T$, при которых значение функции $f(T)=\frac{T^2+2-3T}{T}$ больше либо равно нулю.

В числителе можно найти точки пересечения с осью абсцисс
$T^2+2-3T=0$
Этими точками будут $T_{1} = 1; T_{2} = 2;$, благодаря которым можно понять в какой точке $T$ в функции $f(T)$ меняет свой знак.

В знаменателе $T=0$.
Это означает, что при $T=0$ значение $f(T)$ не определено и на графике будет асимптота в точке ноль оси абсцисс $T$.
Переходя точку $T=0$ $f(T)$ может сменить знак с положительного на отрицательный или наоборот.

Итого есть 3 характерные точки, которые делят абсциссу на 4 интервала, в которых функция меняет свой знак:
1. $T\in(-\infty;0)$
2. $T\in(0;1)$
3. $T\in(1;2)$
4. $T\in(2;+\infty)$

Подставив $T$ в $f(T)$ можно узнать какое положение относительно нуля имеет $f(T)$ в каждом из интервалов.

1. При $T=-1$, $f(T) = -6 < 0$
2. При $T= 0.5$, $f(T) = 1,5 > 0$
3. При $T=1.5$, $f(T) = -\frac{1}{6} < 0$
4. При $T=4$, $f(T) = 1.5 > 0$

На интервалах $T\in(0;1)$ и $T\in(2;+\infty)$ значение $f(T) > 0$.
При $T=1$ и $T=2$ функция $f(T) = 0$.
Итого: $f(T) \geqslant 0$ при $T\in(0;1]U[2;+\infty)$

$T=\log_{2}(x+5)$

$f(T) \geqslant 0$ при $T\in(0;1]$, тогда $f(x) \geqslant 0$ когда 0 < \log_{2}(x+5)$ \leqslant 1, а при $T\in[2;+\infty)$ функция $f(x)\geqslant 0$ когда \log_{2}(x+5)$ \geqslant 2, где $f(x)=\frac{\log^2_{2}(x+5)+2-3\log_{2}(x+5)}{\log_{2}(x+5)}$

$0 < \log_{2}(x+5)$ \leqslant 1$
$-4 < x \leqslant -3 $

$\log_{2}(x+5)$ \geqslant 2$
$x \geqslant -1$

$x\in (-4;-3]U[-1;+\infty)$

[Smolk78]

И конечно нужно учесть ОДЗ:
$x > -5$
$x \ne -5$
$x \ne -4$