(Оффтоп)
А вот попробуйте привести пример метрического пространства, в котором замыкание открытого шарика не будет соответствующим замкнутым шариком :)
Чего тут пробовать. Можно и не дискретное. Возьмем пространство
![$X = [0, 1] \cup \{2\}$ $X = [0, 1] \cup \{2\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/0/800f91bfcece1c45967c067ef7e0182982.png)
(как подпространство

) и открытый шар с центром 0 радиуса 2.
Я как-то сформулировал и
доказал (почти сам) красивые необходимые и достаточные условия того, что замыкание открытого шара совпадает с замкнутым, а внутренность замкнутого - с открытым. Аж горжусь. Не тем, что доказал, а красотой найденных условий. Хотя задача, конечно, учебного уровня, но в учебниках я ее не встречал.