Непонятно, как формально показать несправедливость этой цепочки для бесконечного набора замкнутых множеств.
Надо привести правильную цепочку, без изъянов, тогда и несправедливость утверждения для бесконечного числа множеств становится очевидной.
Правильная цепочка рассуждений:
Доказываем, что если

- замкнуты, то и их объединение замкнуто.
Чтобы доказать, что

замкнуто, нужно доказать, что его дополнение открыто, то есть что любая точка из дополнения объединения содержится в дополнении вместе с некоторым шариком положительного радиуса с центром в этой точке. Возьмем любую точку

из дополнения:

Так как

замкнуто, то его дополнение открыто,

лежит в дополнении

и, поэтому, существует шарик положительного радиуса

, содержащийся в

Пересечение всех шариков

будет лежать в дополнении к объединению множеств

(закон де Моргана) и все ещё будет являться шариком положительного радиуса с центром в

.
Из этого доказательства видно, что если от конечного числа множеств перейти к бесконечному, то пересечение шариков положительного радиуса может выродится в точку, и доказательство не проходит.