Объединение замкнутых множеств

[skobar]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1677024 писал(а):

А теперь, возьмём метрику, в которой расстояние между любыми двумя различными точками равно 1

Все множества открыты (как, впрочем, и замкнуты), ничего интересного. А вот попробуйте привести пример метрического пространства, в котором замыкание открытого шарика не будет соответствующим замкнутым шариком :)

[mihaild]

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1677027 писал(а):

А вот попробуйте привести пример метрического пространства, в котором замыкание открытого шарика не будет соответствующим замкнутым шариком

Так собственно это пространство. Замыкания открытого шара радиуса $1$ не есть замкнутый шар радиуса $1$.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1677027 писал(а):

А вот попробуйте привести пример метрического пространства, в котором замыкание открытого шарика не будет соответствующим замкнутым шариком :)

Чего тут пробовать. Можно и не дискретное. Возьмем пространство $X = [0, 1] \cup \{2\}$ (как подпространство $\mathbb R$) и открытый шар с центром 0 радиуса 2.

Я как-то сформулировал и доказал (почти сам) красивые необходимые и достаточные условия того, что замыкание открытого шара совпадает с замкнутым, а внутренность замкнутого - с открытым. Аж горжусь. Не тем, что доказал, а красотой найденных условий. Хотя задача, конечно, учебного уровня, но в учебниках я ее не встречал.

[skobar]

(Оффтоп)

mihaild, Anton_Peplov
Точно, все правильно