Пять резисторов

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1675716 писал(а):

"звезда-треугольник" тоже подойдет

А, ну да.

[Утундрий]

Ну, в общем, ликбез успешно проведён. Спасибо всем участникам обсуждения.

Заодно припомнил, что же меня в школьные годы тормозило по этой тематике? Манера приписывать некую абстрактную $U$ самому элементу цепи, как будто это его свойство, вроде проводимости. Когда, в каком-то справочнике, я наткнулся на идею расставлять потенциалы в узлах, вся электротехника стала почти очевидной.

[sergey zhukov]

Утундрий
Не согласен. Вот на конденсаторе написано 10 мкФ, 5V. Значит, это напряжение именно конденсатору приписано.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1675721 писал(а):

Заодно припомнил, что же меня в школьные годы тормозило по этой тематике? ...

Какие только замыкания могут происходить в неокрепшем мозгу.
Для меня длительное время было загадкой: почему работает индикаторная отвёртка, если "ток бегает по кругу"?
Ещё долго не мог сообразить, что, если нужно выставить подбором смещения ток коллектора, то совсем не обязательно отпаивать коллектор и включать в разрыв миллиамперметр, а достаточно измерить напряжение на резисторе в коллекторе (иэххх. многие поделки были бы доведены до конца, а не брошены на полдороге...)

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1675694 писал(а):

А в случае пяти произвольных сопротивлений, небось, на какой-нибудь "теорминимум" потянет.

Ну, для экспериментаторов - классическая мостовая схема. С долгой историей, подводными камнями и прочими тонкостями.
Для пущей красоты сопротивления можно считать комплексными. (хмм, нельзя ли тут притянуть какой-то хитрощелевой квантмех?)

Утундрий в сообщении #1675717 писал(а):

Кстати, обобщается на произвольные размерности.

А это мило.
"Как найти размерность пространства, имея при себе вольтметр и кубоидую хрень"?

-- Пт фев 21, 2025 19:57:15 --

EUgeneUS в сообщении #1675787 писал(а):

Для меня длительное время было загадкой: почему работает индикаторная отвёртка, если "ток бегает по кругу"?

У одного моего знакомого на этаже была солидная стальная пластина со звонками.
С её помощью можно было не только почувствовать себя индикаторной отвёрткой, но и при сноровке грубо определять влажность воздуха и обуви.

[Утундрий]

Такая вариация. Пусть сопротивления всех пяти резисторов случайно разбросаны относительно $R$ на величину, не превосходящую $\varepsilon R$. В каком диапазоне будет лежать ток через "перемычку"? Здесь $\varepsilon > 0$ и мало́ по сравнению с $1$.

[EUgeneUS]

Утундрий

Это устная задача.
del - устный счет подвел.

Нужно более аккуратно.
По теореме об эквивалентном генераторе, представим диагональ, как источник с напряжением $U_{diag}$ и внутренним сопротивлением $R_{daig}$.

$$U_{diag} = U_0 \frac{R_1 R_3 - R_4 R_2}{(R_1+R_2)(R_3+R_4)} \approx U_0 \varepsilon$$

$$R_{diag} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3 R_4}{R_3+R_4} \approx 2R$$

Тогда с точностью до линейного по $\varepsilon$ члена:

$$I_{diag} = U_{diag}/(2R+R) = \frac{\varepsilon}{3} \frac{U_0}{R}$$

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1675993 писал(а):

Это устная задача.

Устно: $\frac {\varepsilon U} {2 R}$

От одного внешнего резистора напряжение источника полумоста меняется на $\frac {\varepsilon U} {4}$, сопротивление контура $2 R$, всего 4 независимых внешних резистора.

[EUgeneUS]

realeugene
Да, у вас верный ответ.
Хотя не очень понял, как Вы его получили.
1. Да, изменением каждого резистора в плечах моста получим максимальное напряжение в диагонали $U_0 \varepsilon$
2. А вот это не понял:

realeugene в сообщении #1675997 писал(а):

сопротивление контура $2 R$, всего 4 независимых внешних резистора.

Внутреннее сопротивление источника в диагонали будет $R$ (выше у меня арифметическая ошибка ),

-- 22.02.2025, 12:24 --

EUgeneUS в сообщении #1675993 писал(а):

$$R_{diag} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3 R_4}{R_3+R_4} \approx 2R$$

Правильно, конечно так:

$$R_{diag} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3 R_4}{R_3+R_4} \approx R$$

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1675999 писал(а):

Внутреннее сопротивление источника в диагонали будет $R$ (выше у меня арифметическая ошибка ),

Не вникал в ваши расчёты, но там просто диагональ сопротивлением $R$ и снаружи 4 последовательно-параллельных $R$ в качестве внутреннего сопротивления источника. Суммарно $2 R$.

-- 22.02.2025, 12:40 --

EUgeneUS в сообщении #1675999 писал(а):

Да, изменением каждого резистора в плечах моста получим максимальное напряжение в диагонали $U_0 \varepsilon$

При изменении одного резистора напряжение источника соответствующего полумоста становится $U \frac R {R + (1 + \varepsilon) R} = \frac U 2 - \frac {\varepsilon U} {4 R} + o(\varepsilon)$

Вклад от малого изменения каждого из 4 внешних резисторов независимый.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1676000 писал(а):

При изменении одного резистора напряжение источника соответствующего полумоста становится ...

С напряжением не нагруженного источника всё просто - там два независимых делителя напряжения.

realeugene в сообщении #1676000 писал(а):

Суммарно $2 R$.

$2R$ - суммарно с "нагрузкой" в диагонали. ОК, понятно.
Как сразу увидеть, что внутреннее сопротивление источника - $R$ не придумал. Но за два шага эквивалентных преобразований это становится почти очевидным.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1676007 писал(а):

Как сразу увидеть, что внутреннее сопротивление источника - $R$ не придумал. Но за два шага эквивалентных преобразований это становится почти очевидным.

Я представил, что для вычисления сопротивления источника можно закоротить $U$, и тогда получается последовательно два запараллеленых $R$.

[EUgeneUS]

Я напротив "расщеплял" $U_0$ на два источника, которые питают нагрузку по собственным ветвям.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1675942 писал(а):

Такая вариация. Пусть сопротивления всех пяти резисторов случайно разбросаны относительно $R$ на величину, не превосходящую $\varepsilon R$. В каком диапазоне будет лежать ток через "перемычку"? Здесь $\varepsilon > 0$ и мало́ по сравнению с $1$.

Гу тут все как-то более менее понятно. Качесттвенно.. Берем цепь две ветви без перемычки (с бесконечным споротивлением перемычки). Разница напряжений между средними точками порядка $\varepsilon U/2$. Тогда ток по перемычке $\varepsilon U/2 R $ -по порядку в первом приближении