Поведение жидкого самогравитирующего тела

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1671042 писал(а):

Я надеялся, что есть какое-то решение вроде гантели.

sergey zhukov в сообщении #1671104 писал(а):

В частности, вертикальный размер тела получается всегда равным 0,5

Ну успехов.

[sergey zhukov]

Geen
Не, это просто поверхность тела должна пройти через эту точку с горизонтальной касательной. Для выпуклого тела это размер. А так ничего не мешает и гантель получить в этом расчете.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Расчет ведется в предположении, что форма фигуры одинакова во всех четырех квадрантах. Соответственно, потенциал считается в показанном квадранте, а в остальные он просто копируется. Поэтому оси симметрии фигуры лежат на осях координат.

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Вначале имеем неустойчивое равновесие. Но это же численная модель, изначально легкая несимметричность присутствует, равновесие быстро нарушается.

Я думал про "неустойчивости" - но как раз в численной модели, при изначально совершенно симметричной дискретизированной ситуации - должна быть и совершенно симметричная по всех направлений численная "неустойчивость". Или вы специально внесли ассиметрию в начальной конфигурации?

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Почему она вытягивается именно в горизонтальном направлении? Тут дело в том, по какой именно $\varphi=const$ мы "равняем" периметр тела на каждом шаге. В этом расчете сделано так, что это всегда та линия $\varphi=const$, которая касается периметра тела в верхней точке. Это приводит к "приросту" именно в горизонтальном направлении.

Все же не совсем понятно что вы делали. "Выбор точки" при исходной центральной симметрии фигуры, должен дать также и аналогично симметричную относно центра кривую $\varphi=const$ (т.е. она должна иметь одинаковых сечений например по оси ординат и абсцисс). И соответно действия при дальнейших рассчетов тоже должны получиться симметричными, если все направления третируются алгоритмически равнопоставленно.
Даже если изначально заложена ассиметрия - то правильно было бы тогда на каждой итерации выбирать "опорную точку" для $\varphi$ равноправно-случайно по направлений в плоскости (а не "всегда вертикально") - поскольку у физической ситуации направления в плоскости вращения все-таки равноценны. И рассматривать развитие не одной фиксированной, а целого набора разных случайных начальных ситуаций - с разных случайных исходных малых ассиметрий исходного "квадрата" по разных направлений.

Как бы оно не было - это "изменение формы" - следствие вашего итеративного "эволюционного" рассчета - который by design каким-то образом выделяет именно вертикальное направление в плоскости.
И итоговый результат скорее всего не имеет ничего общего с того, что вроде бы эта "модель" призвана моделировать (форма вращения тела и т.н.)....

Да и практика не потверждает - земля хоть и сплюснута на полюсов но симметрична относно оси вращения, в плоскости экватора никакое "неустойчивое растягивание" по каком-то выделенном направлении не наблюдается (хотя малые ассиметрии должны существовать).
Если верить этой "модели", то при ускорении вращения тела - изначально малая ассиметрия должна привести к тому что неустойчивость выберет одно конкретное (хотя и случайное) направление растягивания (в системе отсчета связанной с телом) - и тело в итоге всегда сначала вытянется, и потом расцепится на две более-менее равные части именно по этом направлении (а не как-то иначе, например на случайное к-во осколков по разных направлений). Что интуитивно выглядит довольно абсурдным.

[Утундрий]

Поначалу я просто хотел дать несколько ссылок на литературу по теме, но теперь отложил их в сторону и подтянул поближе ведро попкорну.

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1671124 писал(а):

Или вы специально внесли ассиметрию

Ну, можно и так сказать. Насчет выделенных направлений - конечно, это специально сделано. Я же не хочу, чтобы тело сплющивалось в какую попало сторону. Это же не нужное усложнение. Если мы ищем решение в виде фигуры, симметричной относительно отражения по осям, то естественно заставить ее вытягиваться и сжиматься именно вдоль них. Понятно, что так мы пропустим какие-нибудь решения вроде треугольника или пятиконечной звезды. Надеюсь, что таких нет.

manul91 в сообщении #1671124 писал(а):

тело в итоге всегда сначала вытянется, и потом расцепится на две более-менее равные части

В трехмерном расчете такая возможность есть. "Сфера - сфероид Маклорена - Эллипсоид Якоби - Гантель Пуанкаре". Земля просто недостаточно быстро вращается. Да и не однородная она.

Я этот расчет в первую очередь сделал не для описания эволюции жидкого тела при ускорении вращения, а для поиска возможных статических решений. Если найдена фигура с эквипотенциальной поверхностью - то это, безусловно, одно из решений. В этом смысле этот алгоритм работает правильно. Поскольку можно ввести сюда медленно меняющуюся угловую скорость и получить последовательный ряд решений, то это описывает некоторую эволюцию вращающегося жидкого тела, только нужно приведение результатов к постоянной плотности и площади.

Для задачи жидкого вращающегося самогравитирующего тела критерий подобия:

$$\frac{\omega^2}{\rho}$$

Все случаи с равными критериями подобия геометрически подобны.
В результате расчета мы получаем равновесную фигуру с некоторыми $R_1$ (линейный размер), $S_1$ (площадь), $\rho_1$ (плотность), $\omega_1$ (угловая скорость), $Fgr_1$ и $ Fc_1$ (сила гравитации и цантробежная сила). Нам нужно привести этот результат к $S_0$ и $\rho_0$. Формулы приведения такие:

$$\omega_2=\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_1}}$$

$$R_2=R_1\sqrt{\frac{S_0}{S_1}}$$

$$Fgr_{2}=Fgr_{1}\frac{\rho_0}{\rho_1}$$

$$Fc_{2}=Fc_{1}\frac{\rho_0}{\rho_1}\sqrt{\frac{S_0}{S_1}}$$

Так что некоторую линию эволюции при изменении угловой скорости тела мы в этом расчете получаем.

[sergey zhukov]

Попробовал повращать жидкий самогравитирующий диск вокруг вертикального диаметра (нарисована четверть диска, синяя - угловая скорость, красная - отношение ширины к высоте):

Здесь существуют разные равновесные решения при разных угловых скоростях, но начиная где-то с отношения ширины к высоте >1.5 уже нет равновесия (на этом видео эволюция этой фигуры не останавливается в этой области >1.5, если перестать увеличивать угловую скорость, а до этого предела они равновесные).

А вот если вращать жидкий самогравитирующий диск вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, то получается интересная вещь. Есть только одно равновесное решение - круговое. И оно устойчиво только до некоторой угловой скорости вращения. А устойчивых не круговых решений я не нашел. Т.е. малые отклонения такого вращающегося диска от круговой формы не нарастают, (как в случае, когда вращают вокруг диаметра), а наоборот, сглаживаются (при достаточно малой угловой скорости).

Еще можно заметить, что предельные равновесные решения определяются не тем, что сила тяжести на "экваторе" приближается к нулю. В пограничных режимах она вполне себе конечна. Пограничное состояние определяется тем (в данном случае), что именно при малом увеличении угловой скорости расширяется быстрее: поверхность тела или эквипотенциальная поверхность. Если эквипотенциальная поверхность выбрана так, чтобы касаться тела на полюсе, и при малом увеличении угловой скорости она расширяется на экваторе с той же скоростью или быстрее, чем поверхность тела, то это значит отсутствие равновесия. В общем, это довольно очевидно, но я сначала как-то иначе себе это представлял.

Это решение получено так же, как и раньше: на каждой итерации за очередной периметр фигуры берется линия равного потенциала, которая касается одной из его текущих точек, и материальное поле внутри этой линии устанавливается на единичную плотность, а вне - на нулевую. Хотя в таком расчете площадь фигуры и масса не сохраняются, а вертикальный размер фиксирован, это ничего не меняет в плане моделирования медленной динамики ускоряющегося вращающегося тела (когда можно пренебречь нестационарными эффектами и все промежуточные этапы считать равновесными), т.к. решение не зависит от масштаба, оно зависит только от отношения квадрата угловой скорости к плотности.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1671805 писал(а):

это ничего не меняет в плане моделирования

А в плане Вашего алгоритма?

[B@R5uk]

Жидкий самогравитирующий диск — это сферический конь в вакууме. При смене размерности результаты могут поменяться качественно. Например, на плоскости правильных многоугольников бесконечно много, а в трёхмерном пространстве платоновых тел всего 5, в четырёхмерном — 6, а пространствах большей размерности всего по три: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра (последние два, я так понимаю, двойственные фигуры). Конечно, ничего не мешает считать в плоскости (благо машинная трудоёмкость меньше и мучиться с потенциалами в цилиндрической системе на надо), но стоит держать в уме заметку на счёт размерости.

Вопрос по расчёту. В фигуре, которая у вас получается, я так понял, меняется плотность. Это должно быть связано с измерением давления внутри тела. Какова функциональная зависимость между давлением и плотностью? Потому что сжимаемость воды и магмы не очень при нормальных условиях.

[drzewo]

Geen в сообщении #1671064 писал(а):

Напишите, пожалуйста, уравнения, которые Вы решали.

Хотел сказать <<присоединяюсь к вопросу>>, но посмотрел историю постов ТС и передумал.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Мы тут просто находим некоторую последовательность статических решений. При этом расчет получается такой, что в ряду этих решений ни плотность, ни площадь не сохраняются. Но это и не обязательно. Если какое-то решение найдено, его всегда можно привести к фиксированной плотности и площади (эти величины у нас должны сохраняться). Поэтому мы находим на самом деле некоторый непрерывный ряд решений для тела с постоянной плотностью и площадью.

Понятно, что жидкий диск - это такая себе задача. Я от нее многого и не ожидаю.

[B@R5uk]

А жаль. Вращающееся жидкое гравитирующее тело в 3D — это интересная задача с многими аспектами.

Например, статические круговые орбиты вокруг точечной массы имеют разные периоды вращения (третий закон Кеплера). В случае жидкого тела всё немного сложнее, потому что гравитирующая масса распределена в пространстве вплоть до орбит движения, но мне кажется, орбиты на разных расстояниях от центра всё равно не будут синхронны. В реальной жидкости или газе это приведёт к трению, то есть к переходу кинетической энергии в тепловую. Но при этом момент импульса должен сохраняться. Интересно, как это будет выглядеть?

Другой интересные вопрос, будет ли геоид единственной устойчивой топологической фигурой или же возможны, например, какие-нибудь тороиды?

[sergey zhukov]

B@R5uk
Ну, вообще все это уже изучено в трехмерии. Есть много разных решений:

Вот и тороид там в конце сплюснутый.
Сурдин как-то говорил, что на моделях показано, как по "механизму гантели" из одной звезды может получиться несколько.