Поведение жидкого самогравитирующего тела

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1671042 писал(а):

Я надеялся, что есть какое-то решение вроде гантели.

sergey zhukov в сообщении #1671104 писал(а):

В частности, вертикальный размер тела получается всегда равным 0,5

Ну успехов.

[sergey zhukov]

Geen
Не, это просто поверхность тела должна пройти через эту точку с горизонтальной касательной. Для выпуклого тела это размер. А так ничего не мешает и гантель получить в этом расчете.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Расчет ведется в предположении, что форма фигуры одинакова во всех четырех квадрантах. Соответственно, потенциал считается в показанном квадранте, а в остальные он просто копируется. Поэтому оси симметрии фигуры лежат на осях координат.

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Вначале имеем неустойчивое равновесие. Но это же численная модель, изначально легкая несимметричность присутствует, равновесие быстро нарушается.

Я думал про "неустойчивости" - но как раз в численной модели, при изначально совершенно симметричной дискретизированной ситуации - должна быть и совершенно симметричная по всех направлений численная "неустойчивость". Или вы специально внесли ассиметрию в начальной конфигурации?

sergey zhukov в сообщении #1671056 писал(а):

Почему она вытягивается именно в горизонтальном направлении? Тут дело в том, по какой именно $\varphi=const$ мы "равняем" периметр тела на каждом шаге. В этом расчете сделано так, что это всегда та линия $\varphi=const$, которая касается периметра тела в верхней точке. Это приводит к "приросту" именно в горизонтальном направлении.

Все же не совсем понятно что вы делали. "Выбор точки" при исходной центральной симметрии фигуры, должен дать также и аналогично симметричную относно центра кривую $\varphi=const$ (т.е. она должна иметь одинаковых сечений например по оси ординат и абсцисс). И соответно действия при дальнейших рассчетов тоже должны получиться симметричными, если все направления третируются алгоритмически равнопоставленно.
Даже если изначально заложена ассиметрия - то правильно было бы тогда на каждой итерации выбирать "опорную точку" для $\varphi$ равноправно-случайно по направлений в плоскости (а не "всегда вертикально") - поскольку у физической ситуации направления в плоскости вращения все-таки равноценны. И рассматривать развитие не одной фиксированной, а целого набора разных случайных начальных ситуаций - с разных случайных исходных малых ассиметрий исходного "квадрата" по разных направлений.

Как бы оно не было - это "изменение формы" - следствие вашего итеративного "эволюционного" рассчета - который by design каким-то образом выделяет именно вертикальное направление в плоскости.
И итоговый результат скорее всего не имеет ничего общего с того, что вроде бы эта "модель" призвана моделировать (форма вращения тела и т.н.)....

Да и практика не потверждает - земля хоть и сплюснута на полюсов но симметрична относно оси вращения, в плоскости экватора никакое "неустойчивое растягивание" по каком-то выделенном направлении не наблюдается (хотя малые ассиметрии должны существовать).
Если верить этой "модели", то при ускорении вращения тела - изначально малая ассиметрия должна привести к тому что неустойчивость выберет одно конкретное (хотя и случайное) направление растягивания (в системе отсчета связанной с телом) - и тело в итоге всегда сначала вытянется, и потом расцепится на две более-менее равные части именно по этом направлении (а не как-то иначе, например на случайное к-во осколков по разных направлений). Что интуитивно выглядит довольно абсурдным.

[Утундрий]

Поначалу я просто хотел дать несколько ссылок на литературу по теме, но теперь отложил их в сторону и подтянул поближе ведро попкорну.

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1671124 писал(а):

Или вы специально внесли ассиметрию

Ну, можно и так сказать. Насчет выделенных направлений - конечно, это специально сделано. Я же не хочу, чтобы тело сплющивалось в какую попало сторону. Это же не нужное усложнение. Если мы ищем решение в виде фигуры, симметричной относительно отражения по осям, то естественно заставить ее вытягиваться и сжиматься именно вдоль них. Понятно, что так мы пропустим какие-нибудь решения вроде треугольника или пятиконечной звезды. Надеюсь, что таких нет.

manul91 в сообщении #1671124 писал(а):

тело в итоге всегда сначала вытянется, и потом расцепится на две более-менее равные части

В трехмерном расчете такая возможность есть. "Сфера - сфероид Маклорена - Эллипсоид Якоби - Гантель Пуанкаре". Земля просто недостаточно быстро вращается. Да и не однородная она.

Я этот расчет в первую очередь сделал не для описания эволюции жидкого тела при ускорении вращения, а для поиска возможных статических решений. Если найдена фигура с эквипотенциальной поверхностью - то это, безусловно, одно из решений. В этом смысле этот алгоритм работает правильно. Поскольку можно ввести сюда медленно меняющуюся угловую скорость и получить последовательный ряд решений, то это описывает некоторую эволюцию вращающегося жидкого тела, только нужно приведение результатов к постоянной плотности и площади.

Для задачи жидкого вращающегося самогравитирующего тела критерий подобия:

$$\frac{\omega^2}{\rho}$$

Все случаи с равными критериями подобия геометрически подобны.
В результате расчета мы получаем равновесную фигуру с некоторыми $R_1$ (линейный размер), $S_1$ (площадь), $\rho_1$ (плотность), $\omega_1$ (угловая скорость), $Fgr_1$ и $ Fc_1$ (сила гравитации и цантробежная сила). Нам нужно привести этот результат к $S_0$ и $\rho_0$. Формулы приведения такие:

$$\omega_2=\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_1}}$$

$$R_2=R_1\sqrt{\frac{S_0}{S_1}}$$

$$Fgr_{2}=Fgr_{1}\frac{\rho_0}{\rho_1}$$

$$Fc_{2}=Fc_{1}\frac{\rho_0}{\rho_1}\sqrt{\frac{S_0}{S_1}}$$

Так что некоторую линию эволюции при изменении угловой скорости тела мы в этом расчете получаем.

[sergey zhukov]

Попробовал повращать жидкий самогравитирующий диск вокруг вертикального диаметра (нарисована четверть диска, синяя - угловая скорость, красная - отношение ширины к высоте):

Здесь существуют разные равновесные решения при разных угловых скоростях, но начиная где-то с отношения ширины к высоте >1.5 уже нет равновесия (на этом видео эволюция этой фигуры не останавливается в этой области >1.5, если перестать увеличивать угловую скорость, а до этого предела они равновесные).

А вот если вращать жидкий самогравитирующий диск вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, то получается интересная вещь. Есть только одно равновесное решение - круговое. И оно устойчиво только до некоторой угловой скорости вращения. А устойчивых не круговых решений я не нашел. Т.е. малые отклонения такого вращающегося диска от круговой формы не нарастают, (как в случае, когда вращают вокруг диаметра), а наоборот, сглаживаются (при достаточно малой угловой скорости).

Еще можно заметить, что предельные равновесные решения определяются не тем, что сила тяжести на "экваторе" приближается к нулю. В пограничных режимах она вполне себе конечна. Пограничное состояние определяется тем (в данном случае), что именно при малом увеличении угловой скорости расширяется быстрее: поверхность тела или эквипотенциальная поверхность. Если эквипотенциальная поверхность выбрана так, чтобы касаться тела на полюсе, и при малом увеличении угловой скорости она расширяется на экваторе с той же скоростью или быстрее, чем поверхность тела, то это значит отсутствие равновесия. В общем, это довольно очевидно, но я сначала как-то иначе себе это представлял.

Это решение получено так же, как и раньше: на каждой итерации за очередной периметр фигуры берется линия равного потенциала, которая касается одной из его текущих точек, и материальное поле внутри этой линии устанавливается на единичную плотность, а вне - на нулевую. Хотя в таком расчете площадь фигуры и масса не сохраняются, а вертикальный размер фиксирован, это ничего не меняет в плане моделирования медленной динамики ускоряющегося вращающегося тела (когда можно пренебречь нестационарными эффектами и все промежуточные этапы считать равновесными), т.к. решение не зависит от масштаба, оно зависит только от отношения квадрата угловой скорости к плотности.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1671805 писал(а):

это ничего не меняет в плане моделирования

А в плане Вашего алгоритма?