Интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла

[apv]

drzewo в сообщении #1672449 писал(а):

Скажите, а зачем Вы беретесь писать о вещах, в которых не смыслите? Неприлично это как-то.

Спасибо за оценку. Учту.

-- Вс фев 02, 2025 16:23:49 --

А пишу я для себя, так проще изучать. Когда осмыслил - записал. Так я учусь. Не обивайте охоту. Неприлично это как-то.

[drzewo]

apv в сообщении #1672451 писал(а):

А пишу я для себя, так проще изучать

Приношу извинения.

[Утундрий]

drzewo
Скажите, а зачем вы пишете то, за что приходится извиняться? Недальновидно это как-то.

[drzewo]

Лирическое отступление про граничные условия и <<интегральные уравнения>>

(Оффтоп)

Через $M\subset \mathbb{R}^m$ обозначим ограниченную область с гладкой границей.

Функция $u\in H^2(M)$ называется сильным решением задачи Неймана

$$-\Delta u=f\in L^2(M),\quad \frac{\partial u}{\partial n}\Big|_{\partial M}=0,\qquad(*)$$

если для любого $\psi\in H^1(M)$ верно равенство

$$(\nabla u,\nabla \psi)_{L^2(M)}=( f,\psi)_{L^2(M)}.\qquad (**)$$

Здесь интересно то, что краевого условия в определении (**) вроде бы и нет. Но на самом деле есть.
Можно показать, что если $u$ -- сильное решение, то первое равенство (*) верно почти всюду, а второе -- в смысле оператора <<след>>.
Все эти штучки интересно также разглядывать с позиций вариационных методов.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Если область имеет углы, то ситуация еще деликатнее. Рассмотрим и сравним

$$\begin{aligned} &u_{tt}-u_{xx}=0, && x>0, t>0,\\ &u|_{t=0}=g(x), && u_t|_{t=0}=h(x),\\ &u|_{x=0}=p(x) \end{aligned}\qquad \text{и}\qquad \begin{aligned} &u_{tt}-u_{xx}=0, && x>0, t>0,\\ &u|_{t=0}=g(x), && u_t|_{t=0}=h(x),\\ &u_x|_{x=0}=p(x). \end{aligned}$$

Первая задача однозначно разрешима в классе разрывных функций, а вторая в классе непрерывных. Но в слабой постановке задачи оно (условие непрерывности для второй задачи) получается автоматически.