Интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла

[apv]

drzewo в сообщении #1672449 писал(а):

Скажите, а зачем Вы беретесь писать о вещах, в которых не смыслите? Неприлично это как-то.

Спасибо за оценку. Учту.

-- Вс фев 02, 2025 16:23:49 --

А пишу я для себя, так проще изучать. Когда осмыслил - записал. Так я учусь. Не обивайте охоту. Неприлично это как-то.

[drzewo]

apv в сообщении #1672451 писал(а):

А пишу я для себя, так проще изучать

Приношу извинения.

[Утундрий]

drzewo
Скажите, а зачем вы пишете то, за что приходится извиняться? Недальновидно это как-то.

[drzewo]

Лирическое отступление про граничные условия и <<интегральные уравнения>>

(Оффтоп)

Через $M\subset \mathbb{R}^m$ обозначим ограниченную область с гладкой границей.

Функция $u\in H^2(M)$ называется сильным решением задачи Неймана

$$-\Delta u=f\in L^2(M),\quad \frac{\partial u}{\partial n}\Big|_{\partial M}=0,\qquad(*)$$

если для любого $\psi\in H^1(M)$ верно равенство

$$(\nabla u,\nabla \psi)_{L^2(M)}=( f,\psi)_{L^2(M)}.\qquad (**)$$

Здесь интересно то, что краевого условия в определении (**) вроде бы и нет. Но на самом деле есть.
Можно показать, что если $u$ -- сильное решение, то первое равенство (*) верно почти всюду, а второе -- в смысле оператора <<след>>.
Все эти штучки интересно также разглядывать с позиций вариационных методов.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Если область имеет углы, то ситуация еще деликатнее. Рассмотрим и сравним

$$\begin{aligned} &u_{tt}-u_{xx}=0, && x>0, t>0,\\ &u|_{t=0}=g(x), && u_t|_{t=0}=h(x),\\ &u|_{x=0}=p(x) \end{aligned}\qquad \text{и}\qquad \begin{aligned} &u_{tt}-u_{xx}=0, && x>0, t>0,\\ &u|_{t=0}=g(x), && u_t|_{t=0}=h(x),\\ &u_x|_{x=0}=p(x). \end{aligned}$$

Первая задача однозначно разрешима в классе разрывных функций, а вторая в классе непрерывных. Но в слабой постановке задачи оно (условие непрерывности для второй задачи) получается автоматически.

[epros]

apv в сообщении #1672421 писал(а):

Ну например, для решения интегрального уравнения, нам надо знать положение источников где-то далеко. А для решения дифференциальных - нам надо знать как меняется поле в данной точке пространства. Т.е. смысл в этих уравнениях различный.

Интегральные уравнения - про некую область. А дифференциальные уравнения - про некую бесконечно малую область. Т.е. на самом деле это примерно одно и то же, с точностью до математических тонкостей.

[apv]

Вот еще покопался в библии:

Сивухин Д.В. Том 3. Электричество писал(а):

Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва, на которых свойства среды или напряженности электрического и магнитного полей меняются скачкообразно. Поэтому в этой форме уравнения Максвелла обладают большей общностью, чем в дифференциальной форме, которая предполагает, что все величины в пространстве и во времени меняются непрерывно. Можно, однако, достигнуть полной математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла. Для этого надо дифференциальные уравнения дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.

Т.е. интегральные уравнения более общие чем дифференциальные, как отметил Утундрий

Но вот еще есть место:

Сивухин Д.В. Том 3. Электричество писал(а):

Правда, дифференциальная форма имеет смысл лишь в том случае, когда электричество распределено в пространстве с конечной плотностью $\rho$. Если $\rho$ обращается в бесконечность в отдельных точках, на линиях или поверхностях, то дифференциальная форма становится неприменимой (С использованием так называемых обобщенных функций дифференциальную форму теоремы Гаусса можно распространить и на эти случаи.), тогда как интегральная форма применима и в таких случаях.

Т.е., полная эквивалентность достигается, если использовать обобщенные функции.
Если, например решать задачу на заряженную сферу обобщенными функциями, то получается, что мне не надо знать граничное условие на границе:

Рассмотрим случай равномерно заряженной сферической оболочки. Поле описывается дифференциальным уравнением:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{Q}{R^2} \delta(r - R), $$

где $R $ --- радиус сферы. Сферическая симметрия задачи приводит к тому, что $ \vec{E} = E(r) \vec{e}_r $, и поэтому:

$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{r^2}\frac{d(r^2 E(r))}{dr} = E'(r) + \frac{2E(r)}{r} = \frac{Q}{R^2} \delta(r - R). $$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое нужно решить. Для краткости обозначим $ C = \frac{Q}{R^2} $. Поскольку
неоднородность в правой части содержит дельта-функцию в точке $ r = R $, и $ \delta(r - R) = \theta'(r - R) $, сделаем предположение:

$$ E(r) = f(r) \theta(r - R) + g(r) \theta(R - r). $$

Здесь $ f(r) $ описывает поведение $ E(r) $ для $ r > R $, а $ g(r) $ — для $ r < R $. Обе функции $ f $ и $ g $ предполагаются гладкими.
Производная $ E'(r) $ теперь выражается как:

$$ E'(r) = f'(r)\theta(r - R) + f(r) \delta(r - R) + g'(r) \theta(R - r) - g(r)\delta(r - R). $$

Упрощая, получаем:

$$ E'(r) = f'(r) \theta(r - R) + \delta(r - R)[f(R) - g(R)] + g'(r) \theta(R - r). $$

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

$$ [f'(r) + 2f(r)/r] \theta(r - R) + \delta(r - R)[f(R) - g(R)] + [g'(r) + 2g(r)/r] \theta(R - r) = C \delta(r - R). $$

Для выполнения этого уравнения необходимо выполнение трёх условий:

$$ \begin{cases} f(R) - g(R) = C, \\ f'(r) + 2f(r)/r = 0 \quad (r > R), \\ g'(r) + 2g(r)/r = 0 \quad (r < R). \end{cases} $$

Для функций $ f $ и $ g $ получаем одинаковую форму дифференциального уравнения, что приводит к одинаковому виду общего решения:

$$ f(r) = \frac{B_f}{r^2}, \quad g(r) = \frac{B_g}{r^2}. $$

Для $ g $ необходимо потребовать, чтобы $ B_g = 0 $, чтобы избежать расходимости поля $ \vec{E}(r) $ в точке $ r = 0 $. Теперь имеем $ f(r) = \frac{B_f}{r^2}$ и $ g(r) = 0 $. Это означает, что:

$$ f(R) - g(R) = f(R) = \frac{B_f}{R^2} = C = \frac{Q}{R^2}, $$

откуда:

$$ B_f = \frac{Q}{\pi} \quad \Rightarrow \quad \vec{E} = \frac{Q}{r^2} \theta(r - R) \vec{e}_r. $$

Получилось, что условие $f(R) - g(R) = C$ вылезло автоматически. Но если решать без обобщенных, тогда действительно, мне надо знать, как сшивать решения и не обойдусь без граничных условий.

[realeugene]

apv в сообщении #1672673 писал(а):

Т.е., полная эквивалентность достигается, если использовать обобщенные функции.

С обобщёнными функциями бывают неприятности. Не всегда осмыслено их произведение. Что может приводить в некоторых случаях, например, к бесконечности энергии. Это не значит, что их нельзя использовать, но это значит, что требуется осторожность.

-- 03.02.2025, 13:53 --

epros в сообщении #1672636 писал(а):

А дифференциальные уравнения - про некую бесконечно малую область. Т.е. на самом деле это примерно одно и то же, с точностью до математических тонкостей.

И нужно не забывать, что "бесконечно малая область" в физике просто достаточно малая конечная область, в которой классическая (для классических уравнений) материя ещё однородна. А на масштабах, где это уже не так, кончается и применимость уравнений.

[Red_Herring]

apv в сообщении #1672673 писал(а):

Т.е., полная эквивалентность достигается, если использовать обобщенные функции.

Нет. Например, если мы рассмотрим уравнения с негладкими коэффициентами, то подставлять в них об общинную функцию нельзя. Есть понятия обобщенное решение и решение-обобщенная функция и они не совпадают. Мой совет--перестаньте постить свои фантазии.

[apv]

Red_Herring, простите, но ветка форума "Помогите...", а значит я не могу понять где фантазия, а где нет и прошу помощи. Представьте, что в церковь будут ходить одни попы, кому помогать попасть в царстиве божие? Перестаньте угрожать.

[drzewo]

apv в сообщении #1672678 писал(а):

Перестаньте угрожать.

Интересная особенность восприятия:)

[realeugene]

apv в сообщении #1672678 писал(а):

Представьте, что в церковь будут ходить одни попы... Перестаньте угрожать.

Э... Вы очень по-хамски ответили помогавшему вам тут добровольно и бесплатно очень грамотному профессиональному преподавателю. Теперь можете пойти к попам в церковь.

[Red_Herring]

apv в сообщении #1672678 писал(а):

Red_Herring, простите, но ветка форума "Помогите...", а значит я не могу понять где фантазия, а где нет и прошу помощи. Представьте, что в церковь будут ходить одни попы, кому помогать попасть в царстиве божие? Перестаньте угрожать.

Я Вам не угрожаю, а советую. Мне нечем угрожать: я не могу даже предложить снести тему, т.к. тогда уйдут многие разумные ответы. Учиться можно по разному: можно взять учебник или два и спрашивать непонятные вещи, а можно читать бессистемно, быстро делать неверные выводы, и писать их. В вашем примере с церковью вы ходите как прихожанин, болтающий с соседями, читающий на смартфон, слушающий обрывки проповедь "не укради!" и все время восклицающий что-то вроде "я понял! воровать пестрых кур нельзя!"

Если бы даже сведение интегральных уравнений к дифференциальным + граничные условия и обратно было бы тривиальным, то как вам объяснили "два лучше чем один": в разных ситуациях можно применять не только что то одно, а и то, и другое.

[amon]

apv в сообщении #1672421 писал(а):

А для негладких решения неэквивалентны, выходит? Но они же об одних и тех же полях. Я тут не пойму немножко.

Вообще говоря, есть три электродинамики. "Классическая электродинамика в вакууме", когда известны микроскопические плотности зарядов и токи. В ней интегральная и дифференциальная формы записи уравнений полностью эквивалентны, решения дважды дифференцируемы и все хорошо. Только использовать ее в народном хозяйстве невозможно, поскольку микроскопических зарядов и токов мы не знаем.
Есть электродинамика сплошных сред, являющаяся неким стат.физическим усреднением вакуумной электродинамики. В ней, чтобы что-то усреднить, надо, как правило, вводить "физически бесконечно малый объем" (ФБМО). В сплошных средах поля удваиваются (появляются всякие $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$), меняются уравнения и т. п. Она, собственно, в хозяйстве и применяется. В ней и возникают разрывные решения. Возникают они от того, что область изменения полей в некоторых случаях оказывается порядка того самого, пресловутого, ФБМО. Поэтому в электродинамике сплошных сред без интегральной формы сложно. Из нее, в частности, получаются граничные условия на резких границах двух сред.
Если мы вдруг сдуру захотим узнать, что собственно на самом деле происходит внутри самого ФБМО, то флаг нам в руки, барабан на шею, и вперед - изучать квантовую электродинамику.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1672426 писал(а):

На меньших размерах термодинамических величин вроде температуры просто нет.

Вот даже не уверен, с какой стороны это утверждение более неверно.