Интегральные и дифференциальные уравнения Максвелла

[realeugene]

apv в сообщении #1672424 писал(а):

А ударные волны?

Вся термодинамика и физика сплошных сред - это макроуровень, ограниченный снизу несколькими межмолекулярными расстояниями. На меньших размерах термодинамических величин вроде температуры просто нет. В воздухе при нормальных условиях среднее расстояние между летающими молекулами что-то в районе 70 нм. Соответственно, фронт ударной волны в любом случае не может быть уже.

[apv]

Хорошо, рассмотрим сферическую поверхность заряженного металла - на ней есть разрыв, если угодно. Но решение можно получить и инетральным уравнением, просто выбирая гауссову поверхность то внутри то вне металла. Но можно и решить уравнение Лапласа с учетом граничного условия на поверхности. Так что есть ли разрывы или нет, не важно. И и я не пойму зачем предъявлять требования к искомым функциям.

-- Вс фев 02, 2025 15:22:06 --

realeugene в сообщении #1672426 писал(а):

Вся термодинамика и физика сплошных сред - это макроуровень, ограниченный снизу несколькими межмолекулярными расстояниями. На меньших размерах термодинамических величин вроде температуры просто нет. В воздухе при нормальных условиях среднее расстояние между летающими молекулами что-то в районе 70 нм. Соответственно, фронт ударной волны в любом случае не может быть уже.

Ну согласен, ударная волна - это разрыв в математическом смысле.

[realeugene]

apv в сообщении #1672427 писал(а):

рассмотрим сферическую поверхность заряженного металла - на ней есть разрыв, если угодно.

На атомарном уровне она уже не очень сферическая, и там уже нужны жёсткие кванты для описания физики.

-- 02.02.2025, 16:23 --

apv в сообщении #1672427 писал(а):

Ну согласен, ударная волна - это разрыв в математическом смысле.

В приближении бесконечно делимой однородной среды.

[warlock66613]

apv в сообщении #1672424 писал(а):

Интегральные уравнения являются удобным инструментом для анализа поля в больших областях пространства.

Я не вижу ни малейшей связи между интегральностью/дифференциальностью уравнений и объёмом пространства.

[apv]

А вообще, концепция разрывов пришла как это ни парадоксально именно из физики. Дирак придумал плотность точечного заряда в виде $\delta$-функции, а потом уже математики придумали как решать дифуры с помощью функции Грина, что по сути продолжило эту же идею, как из разрывного получать гладкое.

-- Вс фев 02, 2025 15:33:02 --

warlock66613 в сообщении #1672429 писал(а):

Я не вижу ни малейшей связи между интегральностью/дифференциальностью уравнений и объёмом пространства.

А в чем Вы видите различия между ними?

[realeugene]

apv в сообщении #1672430 писал(а):

А вообще, концепция разрывов пришла как это ни парадоксально именно из физики. Дирак придумал плотность точечного заряда в виде $\delta$-функции, а потом уже математики придумали как решать дифуры с помощью функции Грина, что по сути продолжило эту же идею, как из разрывного получать гладкое.

Не путайте разрывные обычные функции с обобщёнными.

[apv]

realeugene в сообщении #1672431 писал(а):

Не путайте разрывные обычные функции с обобщёнными.

Так дельта-функция и есть обобщенная. Что я путаю?

-- Вс фев 02, 2025 15:36:48 --

А, я понял о чем Вы.

[Утундрий]

Стандартное понимание состоит в том, что интегральная форма есть дифференциальная форма плюс соотношения на разрывах.

[apv]

Но это уведет от основной темы. Я хочу сформулировать в чем смысловая разница между интегральными и дифференциальными уравнениями. Ну кроме того, что интегральные более общие, и кроме удобства использования.

[Утундрий]

Из названия темы следует, что планируется обсуждения разных форм записи одних и тех же законов. Конкретно — Максвелла. Вы уже передумали и хотите обсудить что-то другое?

[apv]

Да нет, не передумал.

-- Вс фев 02, 2025 15:49:33 --

Смоделируем ситуацию. Поставим себя на место тогою, кто впервые изучает теорию поля и ему показывают интегральные уравнения электродинамики, как обобщения опытных данных, а потом с помощью математических трюков переходят к дифференциальной форме. Возникает вопрос "а зачэм нам два?". Вот и хочется объяснить зачем. Вот как правильно объяснить, что заряд в интегральном уравнении - это тот что внутри поверхности, а заряд (а точнее плотность) та что в дифференциальном - это та что в точке. В интегральной теореме мы используем заряды вдали и ищем поле тут, а в дифференциальном нам надо знать как поле изменяется тут, чтобы восстановить его везде.

[warlock66613]

Это решается разбором задач, часть которых решаются с помощью интегральной формы, а часть с помощью дифференциальной.

[apv]

Ну хорошо, возьмем задачу на однородный шар. Да интегральная теорема естественно дает напряженность поля внутри и вне. А возьмем дифференциальную. Там еще нужно попотеть и пояснить почему слагаемое с сингулярностью в нуле надо выкинуть. И вот тут, без знания теории решения дучп не понятно как выкручиваться.

-- Вс фев 02, 2025 16:16:20 --

И как итог, вот что у меня будет:

Цитата:

Электростатика исследует взаимодействие неподвижных зарядов и полей, которые они создают. Основой электростатики является система уравнений, описывающих свойства электростатического поля. Эти уравнения формулируются в интегральной и дифференциальной формах. Интегральная форма уравнений является более общей, тогда как для определения полей с помощью дифференциальных уравнений нужно знать граничные условия на поверхностях раздела сред.

Система этих уравнений является частным случаем более общей системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля, когда временные производные полей равны нулю. В этом случае электрическое поле описывается только распределением зарядов.

Надеюсь, нут ничего лишнего уже нет

[Утундрий]

apv в сообщении #1672438 писал(а):

Возникает вопрос "а зачэм нам два?"

Патамючьтя эта бёльшэ чэм адын. Вся математика так устроена. Одни и те же факты, но в разных формах и комбинациях.

[drzewo]

apv в сообщении #1672443 писал(а):

И как итог, вот что у меня будет:

Скажите, а зачем Вы беретесь писать о вещах, в которых несмыслите? Неприлично это как-то.