Определение дроби по EminentVictorians

[dgwuqtj]

EminentVictorians
Нельзя дать строгие определения всем понятиям. Если определять натуральные числа через множества, то неопределяемыми будут уже множества, а также логические формулы. Лично для меня и то, и другое сложнее натуральных чисел: множества вообще неконструктивны, а формулы имеют некую рекурсивную структуру со всякими свободными и связанными переменными.

В принципе, никто не мешает вообще забыть про теорию множеств и работать внутри маленькой структуры типа $\mathbb N$ с аксиомами Пеано. Там упорядоченные пары, кортежи и т.д. легко кодируются при необходимости. Но обычно в матлогику вообще не углубляются и работают неформально. Матлогика нужна для другого, как уже упоминали.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1671231 писал(а):

Ну и плюс, было разочарование, что какого лешего нельзя было раньше так и сказать сразу. А за одно объяснить, что есть абстрактные модели, существующие в психике (+ привести в пример несколько филосовских подходов к ним), потом объяснить цель моделирования (абстрагироваться он несущественных деталей изучаемого объекта ради упрощения), объяснить варианты оснований для математического моделирования и т.д. Не обязательно в полной общности, просто хоть немного про это рассказать.

В каком классе? В первом, когда проходят натуральные числа? Или в четвертом, когда проходят дроби? Вы бы поняли такие материи в возрасте 7 - 10 лет?

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1671271 писал(а):

Нельзя дать строгие определения всем понятиям.

Согласен. Но базовая линия немного о другом, а именно, я пытаюсь показать наглядно, что многие вещи, которые воспринимаются как элементарные и очевидные, на самом деле таковыми не являются. И вот эти якобы глупые детские вопросы "почему" на самом деле имеют смысл (а некоторые из них выливаются в целые крупные области математики).

Anton_Peplov в сообщении #1671273 писал(а):

Вы бы поняли такие материи в возрасте 7 - 10 лет?

Так дроби - гораздо более сложные материи. А про математическое моделирование вполне можно рассказать наглядно, простыми словами и на жизненных примерах. Но ничего такого в школьной программе нету.

(Оффтоп)

Утундрий, это не первая тема, связанная с основаниями, где вы вклиниваетесь с довольно бессмысленными комментариями и ненормальным апломбом. Не интересно вам это - ради бога. Дайте спокойно с людьми пообщаться.

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1671266 писал(а):

Чтобы оно имело смысл, понятие "числитель" должно быть определено.

Легко. Дробью назовём упорядоченную пару из целого и натурального (ненулевого положительного) чисел. Первое назовём числителем, второе -- знаменателем. Пару $(a,1)$ отождествим с целым числом $a$. Ну и плюс правила арифметических действий.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1671275 писал(а):

Дробью назовём упорядоченную пару из целого и натурального (ненулевого положительного) чисел.

Вот, это уже ближе к истине. Но все равно пока неверно. По такому определению $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ - разные дроби. Эти упорядоченные пары еще факторизовать надо.

[Sender]

Ну и соглашение о записи. Обычно дробь с числителем $a$ и знаменателем $b$ записывают как $\frac{a}{b}$. Вам, конечно, никто не запрещает записывать их как $a^b$, но об том лучше упомнуть в преамбуле статьи, а то у некоторых неискушённых читателей может возникнуть недопонимание.

-- Чт янв 23, 2025 17:08:16 --

EminentVictorians в сообщении #1671276 писал(а):

Эти упорядоченные пары еще факторизовать надо.

Если разность равна нулю, считайте их одинаковыми.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1671277 писал(а):

Если разность равна нулю, считайте их одинаковыми.

Тоже плохо. Для того, чтобы говорит о разности, её надо определить. Разность будем определять на чем? Хотелось бы на дробях, а не на записях дробей. Поэтому, перед тем как определить разность, все равно надо определить понятие дроби. А у Вас порочный круг получается: чтобы определить дробь, нужно уметь говорить про разность дробей, а чтобы уметь говорить про разность, должны быть определены дроби.

Можно, конечно, попытаться определить операции на дробных записях, но быстро станет ясно, почему это плохой путь.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians
Я бы еще обратил внимание на различие теории и метатеории. Мы можем построить теорию натуральных чисел, где единицей будет $\{ \varnothing \}$, даже и формальную. Но при этом мы будем рассуждать на естественном языке и вряд ли обойдемся в своих рассуждениях без понятий вроде "один" и "два". Да даже чтобы поставить слева одну открывающую фигурную скобку, а справа одну закрывающую, нам нужно понимать, что такое "один".
Как уже обратил внимание dgwuqtj, невозможно все строго определить с самого начала. Потому что этого начала нигде нет.

[VAL]

EminentVictorians в сообщении #1671066 писал(а):

[..]Понять, допустим, конструкцию интеграла Курцвейля-Хенстока для меня было проще, чем понять дроби. Конечно, я умел, допустим, приводить дроби к общему знаменателю на тот момент, когда изучал этот же интеграл. Но понял дроби я уже после (буквально пару лет назад может быть). Я понимаю, что это выглядит не очень адекватно с моей стороны, как будто я вру или выпендриваюсь, но это так и есть.

Честно и самокритично.

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1671279 писал(а):

Разность будем определять на чем? Хотелось бы на дробях, а не на записях дробей. Поэтому, перед тем как определить разность, все равно надо определить понятие дроби.

Операция нахождения разности -- это часть определения, что вас не устраивает?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1671266 писал(а):

epros, ошибаетесь. $2^3$ по Вашему определению - это дробь.

У Вас какая-то странная логика. Чтобы это утверждать, нужно откуда-то вывести, что $2$ - числитель этой "дроби". Но Вы почему-то отказываетесь это делать.

EminentVictorians в сообщении #1671266 писал(а):

epros в сообщении #1671249 писал(а):

"Всякий числитель рассматриваемого объекта - целое число"

Нет, Вы говорили не это. Предложение в цитате - это утверждение про числитель.

Да, логика воистину странная. Когда говорят:

epros в сообщении #1671213 писал(а):

Объект, состоящий из целочисленных числителя и знаменателя.

, то это значит:
1) Что у объекта есть то, что называется "числитель".
2) Что этот числитель является целым числом.

Второе вообще-то и есть то утверждение, которое Вы сейчас процитировали.

EminentVictorians в сообщении #1671266 писал(а):

Чтобы оно имело смысл, понятие "числитель" должно быть определено.

Понятие "числитель" недвусмысленно определено как некое целое число. Что Вы ещё-то хотите? Чтобы я и целое число определил? Так мы полагаем, что это уже известно.

-- Чт янв 23, 2025 18:24:21 --

EminentVictorians в сообщении #1671276 писал(а):

Вот, это уже ближе к истине. Но все равно пока неверно.

Нет, это дальше от истины, потому что это лишние слова и искусственное засорение самому себе мозга.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1671282 писал(а):

Операция нахождения разности -- это часть определения, что вас не устраивает?

Вы определяете разность дробей. Чтобы определить разность дробей, понятие дроби уже должно быть определено. А у Вас пока понятие дроби не определено. Всё, что Вы пока определили - это дробные записи. Дроби Вы пока не определили.

epros в сообщении #1671284 писал(а):

Понятие "числитель" недвусмысленно определено как некое целое число.

Ну вот у меня есть объект $2^3$, в нем 2 - это "некоторое целое число". Я называю его числителем. Почему я могу это делать? Да очень просто, Вы в своем определении вообще не наложили никаких требований на понятие "числитель" кроме как быть целым числом. Вы даже не наложили требование на то, где он должен быть записан.

epros в сообщении #1671284 писал(а):

Да, логика воистину странная. Когда говорят:

epros в сообщении #1671213 писал(а):

Объект, состоящий из целочисленных числителя и знаменателя.

, то это значит:
1) Что у объекта есть то, что называется "числитель".
2) Что этот числитель является целым числом.

У меня 2 в $2^3$ это числитель. Все в согласии с Вашим определением.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1671274 писал(а):

Дайте спокойно с людьми пообщаться.

Вы не общаетесь, а строите из себя нитаку́сеньку.

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1671288 писал(а):

Чтобы определить разность дробей, понятие дроби уже должно быть определено.

Это откуда такие странные идеи? Хорошо, отвлечёмся от дробей. С группами как? Чтобы определить групповую операцию, по-вашему, понятие элемента группы должно быть уже как-то определено?

[Dan B-Yallay]

EminentVictorians в сообщении #1671276 писал(а):

По такому определению $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ - разные дроби.

А это и есть разные дроби. Конечно, они выражают одно и то же рациональное число, но тем не менее, сами по себе дроби разные. У них в числителях и знаменаиелях разные числа.

EminentVictorians в сообщении #1671276 писал(а):

Эти упорядоченные пары еще факторизовать надо.

Кому надо - пусть факторизует. А кому нужно что-то посчитать, те перебьются без классов эквивалентностей и прочих "изоморфизмов с линейными операторами по композиции".

Кстати, не хотите ли дать определение выделенному?

(Оффтоп)

Представил, как выглядела бы подобная тема на литературно-филологическом форуме.
Выходит некто, изучающий творчество Достоевского и оповещает:
-- Господа, я не понимал значения всех этих закорючек в букваре, пока не прочел Братьев Карамзиных и Идиота. Я, конечно, умел ими пользоваться, но истинный смысл букв пришел ко мне только после диагноза эпилепсии у князя Мышкина.