Определение дроби по EminentVictorians

[Dan B-Yallay]

EminentVictorians в сообщении #1671316 писал(а):

Берем область целостности, рассматриваем его декартов квадрат

После чего я укажу на поле с целой и неубранной кукурузой, выделю там квадрат и спрошу где там дроби. Ибо область целостности и декартовость вы не определили.

Все по вашему рецепту "$2^3$"

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1671316 писал(а):

Если нам дана какая-то конкретная группа, это значит, автоматически нам известна операция на этой группе. Если нам дана произвольная группа, то все свойства операции, которыми мы можем пользоваться - это 3 аксиомы группы. Вы пытаетесь определить множество дробей. Оно еще даже множеством не стало, не то что группой.

Нет-нет. Речь о том, как нам правильно определить понятие группы.

[Dedekind]

Sender в сообщении #1671333 писал(а):

Речь о том, как нам правильно определить понятие группы.

Для этого вначале нужно определить множество-носитель. Как же задать групповую операцию до этого?

-- 23.01.2025, 18:18 --

EminentVictorians, если Вам не сложно, ответьте все-таки, пожалуйста.

Dedekind в сообщении #1671304 писал(а):

Но почему бы Вас, например, в школе не устроило определение дробей как еще одного вида чисел, с которыми можно выполнять вот такие операции, и которые полезны для вычислений в разных жизненных ситуациях?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1671311 писал(а):

epros в сообщении #1671300 писал(а):

Какие-то числа я вижу, но есть ли среди них числитель никто не сказал.

Я сам сказал. Ваше определение не запрещает называть числителем что угодно. Еще раз: никаких требований на числитель (кроме как быть целым числом) Вы не наложили.

Ещё раз: Я в своём общем определении дроби наложил требование иметь числитель и знаменатель. А вот Вы, приводя конкретное выражение, не указали, есть ли в нём числитель и знаменатель. Вы должны были прямо после $2^3$ написать: "где первое число - числитель, а указанное в верхнем индексе - знаменатель". Тогда бы я спокойно Вам ответил, что приведённое Вами выражение - просто необычная форма записи дроби. Но Вы этого не сказали даже после моего уточняющего вопроса. Вы совершенно зря вообразили, что моё определение является разрешением кому угодно называть любые обнаруженные целые числа "числителем" или "знаменателем" - задним числом, не оговорив этого непосредственно в самом определении конкретной дроби.

Может хватит уже упираться рогом на вполне очевидном месте? Да, моё определение - словесное, и да, есть нюансы, которые я в нём опустил (намеренно). Но это именно то, что всем объясняют в начальной школе, и в плане математической логики это вполне формализуемо. А вот накручивание на него теоретико-множественной атрибутики (как предлагаете Вы) не только не повышает строгость, но ещё и уводит нас в совершенно не относящиеся к делу дебри.

EminentVictorians в сообщении #1671303 писал(а):

Ну да, вот поэтому определение, данное epros, плохое.

Демагогия, сэр. Из моего определения не следует, что $2^3$ - дробь.

[Ghost_of_past]

EminentVictorians в сообщении #1671231 писал(а):

А за одно объяснить, что есть абстрактные модели, существующие в психике (+ привести в пример несколько филосовских подходов к ним), потом объяснить цель моделирования (абстрагироваться он несущественных деталей изучаемого объекта ради упрощения), объяснить варианты оснований для математического моделирования и т.д.

Это явно не задача уровня начальной школы. Про все это можно говорить, но где-нибудь в 8-9 классах, точно не раньше.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1671333 писал(а):

Речь о том, как нам правильно определить понятие группы.

Да как обычно: как какое-то множество с какой-то операцией, удовлетворяющей известным трем свойствам (ну, некоторые, правда считают, что в группе 2 операции, другие - вообще три; но это все несущественно). Все как обычно.

Dedekind в сообщении #1671304 писал(а):

Но почему бы Вас, например, в школе не устроило определение дробей как еще одного вида чисел, с которыми можно выполнять вот такие операции, и которые полезны для вычислений в разных жизненных ситуациях?

Непонятно, почему $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, т.е. почему вообще выполняется основное свойство дроби. Непонятно, 2 это числа или одно и то же. Непонятно, почему числа с одинаковыми знаменателями складываются по принципу "верх + верх, низ оставляем". Ну и так далее, там буквально одни вопросы и остаются.

epros в сообщении #1671339 писал(а):

Я в своём общем определении дроби наложил требование иметь числитель и знаменатель.

Да не дает никто так определения. "Должен быть числитель", а что такое числитель - не сказали. Это ненормально.

[Sender]

EminentVictorians в сообщении #1671346 писал(а):

Да как обычно: как какое-то множество с какой-то операцией, удовлетворяющей известным трем свойствам

Ну вот и дроби определяются как какое-то множество с какими-то операциями, удовлетворяющими каким-то свойствам.

[EminentVictorians]

Sender в сообщении #1671347 писал(а):

Ну вот и дроби определяются как какое-то множество с какими-то операциями, удовлетворяющими каким-то свойствам.

Вы согласны, что прежде чем определить эту операцию (в нашем случае вычитание), надо определить само это множество?

[Dedekind]

Ну, например вот так. Что было бы непонятно в таких объяснениях?

EminentVictorians в сообщении #1671346 писал(а):

Непонятно, почему $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, т.е. почему вообще выполняется основное свойство дроби.

Потому что если мы поделим торт на три куска и возьмем два из них, и если поделим на 6 и возьмем 4 из них - то получим одно и то же количество торта. Поэтому, это одно и то же число.

EminentVictorians в сообщении #1671346 писал(а):

Непонятно, почему числа с одинаковыми знаменателями складываются по принципу "верх + верх, низ оставляем".

См. торт.

[EminentVictorians]

Dedekind в сообщении #1671349 писал(а):

См. торт.

А умножаются почему верх-верх низ-низ?

[Dedekind]

EminentVictorians в сообщении #1671350 писал(а):

А умножаются почему верх-верх низ-низ?

Потому что если мы хотим, например, одну четверть торта разделить еще пополам и взять одну из частей, то выйдет одна восьмая: $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1\cdot 1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8}$. А если захотим разделить пополам и взять три таких части, то выйдет три восьмых: $\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2} = \frac{1\cdot 3}{4\cdot 2} = \frac{3}{8}$

[skobar]

EminentVictorians
Немецкий математик Edmund Landau - ваш лучший друг. Во второй главе своей книжки "Основы анализа" он с исключительным занудством, но зато совершенно строго дает определение дробей и действий над ними, все как вы любите :)

[drzewo]

Я тут оставлю книжечку. Просто что бы эта ветка совсем как цирк не выглядела.
Foundations - Krantz.pdf

[EminentVictorians]

Dedekind в сообщении #1671351 писал(а):

Потому что если мы хотим, например, одну четверть торта разделить еще пополам и взять одну из частей, то выйдет одна восьмая

Нормально, как интерпретация. Последний вопрос (а то мне просто уже идти пора): как через торт интерпретировать, что все эти свойства останутся верными для дробей с отрицательными числами в числителе или знаменателе?

[Dedekind]

EminentVictorians
Так же, как Вы интерпретируете сами отрицательные числа. Как долги кусочков торта, или что-то в этом роде. Проблемы тут могут возникнуть только с умножением двух отрицательных дробей друг на друга. Но тут уж можно просто сказать: операции выполняются по аналогии с операциями для двух положительных или для положительной с отрицательной.