Понятие дроби упирается в целый ряд довольно сложных конструкций.
1. Нужно знать, что такое фактормножество (потому что множество дробей - это буквально фактормножество подмножества упорядоченных пар целых по известному отношению эквивалентности).
2. Нужно осознавать понятие формального символа. Для меня это тоже большая личная история: я давно научился понимать теоретико-множественные определения, а вот эти формальные штуки до меня долго не доходили (слава богу, что хоть сейчас дошли).
3. Надо понимать связь теоретико множественного определения с определением дроби как формального знака, их взаимную заменяемость, цели того и другого определения.
4. Нужно понимать мотивацию дробей: что мы хотим иметь алгебраическую систему, согласованную с неформальной практикой действий над частями целого. Раз алгебраическую систему - значит хотелось бы, чтобы она расширяла действия над уже существующими (исторически - натуральными, логически - целыми) числами, если такое возможно. Оказывается, что возможно. Тут в принципе надо обладать определенной математической культурой, чтобы понимать, что математика - это не данные свыше сакральные знания, а вполне себе собственноручно творимое детище, где человек может сам выбирать определения, сам менять их, и т.д. И что это нормально - искать определения под заданные цели.
5. Ввиду неоднозначности представления числа дробью, надо понимать что такое конгруэнция (корректность операции на фактормножестве, т.е. независимость от выбора представителя). А это идея универсальной алгебры.
6. Далее можно заметить, что расширить наши предыдущие числа (целые) можно многими способами, причем и свойства операций сохранятся, и согласованность с неформальной практикой будет (куски считать сможем). Поэтому дроби - это нечто большее. А именно, мы хотим минимальное из всех таких расширений. "Экстремальное условие" на классах алгебраических систем. Как его формализовать? Да, теория категорий.
