2 закон ньютона

[realeugene]

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Возьмите в качестве displacemet функции ($\textbf{r}(t)$)

Это уже математическая модель. Вы спрашиваете про чисто математические артефакты этой математической модели.

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Тогда, в каком-то смысле, при взгляде "из прошлого" или "из будущего" ускорения в один и тот же момент будут разные.

Ага, когда это важно, например, при прокладке рельс, накладывают дополнительные ограничения на непрерывность ускорения, чтобы не было ударов. В остальных случаях рассматривают как неинтересные артефакты модели.

-- 15.01.2025, 18:15 --

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Школьная модель, где рассматриваются только дифференцируемые функции не удовлетворяет.

Ага. В ходе обучения физике ученик должен понять, что существуют разные физические модели, но нет абсолютно точных. Поэтому важно понимать какая у каждой модели точность и когда она становится неприемлемой. И не требовать слишком сложной модели если у простой точность достаточна. Анализ погрешностей - важная часть физики.

[skobar]

amon в сообщении #1670178 писал(а):

Строго говоря, это плохой вопрос с точки зрения физики. Разные точки гири будут иметь разные скорости и ускорения, поскольку гирю, в строгой постановке такой задачи, нельзя считать абсолютно твердым телом. Однако, задачу можно существенно упростить, если считать, что все измеряемые величины это средние по времени, причем время усреднения $\tau$ больше, чем время релаксации (условно, размер тела, деленный на скорость звука). Предел $\tau\to 0$ выдаст те самые $\delta$-функции и абсолютно твердые тела. Беды с причинностью при этом не возникает. Мы "искусствено" стянули некий процесс длительностью $\tau$ в одну "временную точку". Задача становится существенно проще, но за это приходится платить непрерывностью, а то и переходом к обобщенным функциям.

В первом приближении понял, that makes some sense. А как насчет моего вопроса:

skobar в сообщении #1670170 писал(а):

Я имею ввиду, что может ли быть такая ситуация, что если до некого момента $t_{0}$ (включая этот момент) на частицу действует одна и та же сила (в смысле заданная по одной и той же формуле), а строго после момента $t_{0}$ сила меняется либо по сценарию 1, либо по сценарию 2, то может ли быть так, что ускорение в момент $t_{0}$ будет зависеть от выбора последующего сценария?

?

[wrest]

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Вы все хотите, чтобы я построил какую-то модель.

Ну как-то так, да, потому что когда вы говорите "момент удара" это уже имплицирует применения модели удара в которой рассматривают только состояния до и после, не в сам момент. Но если вы имеете в виду под "моментом удара" что-то иное - обозначьте.

[realeugene]

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Так мой вопрос как раз и заключается, в том числе, и в способе построения этой модели.

Самое простое в этой задаче - использовать обычные функции для скорости, считать скорость в нуле разрывной, и не спрашивать про величину ускорения в нуле (а на самом деле, в некоторой малой окрестности нуля). Для этого вопроса физическая модель материальной точки с точным значением положения в каждый момент времени становится неприменимой.

-- 15.01.2025, 18:22 --

skobar в сообщении #1670183 писал(а):

а строго после момента $t_{0}$

Вот это понятие "строго" уже вне точности модели.

-- 15.01.2025, 18:26 --

skobar
математика позволяет по нескольким вычетам построить аналитическую функцию с её точным значением в каждой точке комплексной плоскости. Да и само определение функции требует точного значения в каждой точке. В физике как правило такое не работает. Приближение заведомо неточной физической модели точными математическими функциями (или другими математическими объектами) и есть математическое моделирование физической задачи.

[skobar]

wrest в сообщении #1670184 писал(а):

Ну как-то так, да, потому что когда вы говорите "момент удара" это уже имплицирует применения модели удара в которой рассматривают только состояния до и после, не в сам момент

Если правильно понял, то ускорение в момент удара вообще не определено в рамках общепринятой "модели удара". Спасибо, начинает проясняться.

[amon]

skobar в сообщении #1670183 писал(а):

после момента $t_{0}$ сила меняется либо по сценарию 1, либо по сценарию 2, то может ли быть так, что ускорение в момент $t_{0}$ будет зависеть от выбора последующего сценария?

Боюсь, тут проявляется разница между физиками и математиками. Физики используют математику как инструмент, подглядывая при этом в ответ. В физике почти ничего не может измениться мгновенно. Все мгновенные изменения возникают когда, по условиям задачи, можно пренебречь тем самым временем релаксации. Бывают случаи, когда можно (соударение пары шаров). Бывает, когда нельзя (расчет подушек безопасности в автомобиле). Кроме того, измерение всегда занимает какое-то конечное время. Поэтому вопрос: "Чему равно ускорение точно в 12-00 по Гринвичу" для физика бессмыслен. А так - ускорение пассажира автомобиля, врезавшегося в бетонную стену, несомненно зависит от того, сработали подушки или нет. Только в такой задаче уже $\delta$-функциями не отделаться. Надо честно учитывать все релаксации, превращающие новенький Бентли в кучу металлолома.

[realeugene]

amon в сообщении #1670188 писал(а):

Физики используют математику как инструмент, подглядывая при этом в ответ.

Вот да, "подглядывая в ответ" - это ключевое. Задача физики - предсказание результатов наблюдений, главный критерий правильности физической модели - её предсказательная сила, а не формальная непротиворечивость. Физики бы и хрустальные шары использовали, если бы они работали.

Хотя в теорфизике именно очень сложные математические абстракции позволяют строить наиболее тонкие и сильные физические модели, всё равно главный критерий их правильности как физических моделей остаётся неизменным в виде наблюдаемого в эксперименте "ответа".

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670186 писал(а):

Если правильно понял, то ускорение в момент удара вообще не определено в рамках общепринятой "модели удара". Спасибо, начинает проясняться.

Ускорение в момент удара не определено, но должно выполняться: $m \int\limits_{t_0-}^{t_0+} \mathbf{a} dt = \Delta \mathbf{P}$, где $\Delta \mathbf{P}$ - изменение импульса при ударе. Откуда и возникает дельта-функция.

[realeugene]

А в некоторых задачах на движение материальной точки и скорость не определена вообще ни в какой момент времени. Как при броуновском движении, которое приходится моделировать винеровским случайным процессом. Так что когда точное положение материальной точки в модели материальной точки есть, а скорости или ускорения у неё нет - это нормально.

А в квантовой механике и понятие точного положения точечного тела исчезает.

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Возьмите в качестве displacemet функции ($\textbf{r}(t)$) нехорошую функцию, скажем, чтобы левые и правые производные от скорости различались в каком-то моменте.

1. По-русски это принято называть "радиус-вектор".
2. Это хорошая функция В физике "хорошие функции" - это кусочно гладкие и нужное количество раз дифференцируемые (на этих "кусочках").

-- 15.01.2025, 19:30 --

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

школьная модель, где рассматриваются только дифференцируемые функции не удовлетворяет.

В ЕГЭ есть задачи на кинематику, где либо скорость, либо ускорение меняются скачком, и школьники должны уметь их решать

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1670194 писал(а):

По-русски это принято называть "радиус-вектор".

По-русски это изменение положения:

Цитата:

To find the displacement (position shift) from the velocity function, we just
integrate the function...

$\textbf{r}(t)$ - position, по определению.

https://wl.apsva.us/wp-content/uploads/ ... -Notes.pdf

-- 15.01.2025, 19:37 --

EUgeneUS в сообщении #1670194 писал(а):

В ЕГЭ есть задачи на кинематику, где либо скорость, либо ускорение меняются скачком, и школьники должны уметь их решать

К счастью школьники ещё не знают, что такое непрерывно дифференцируемые функции.

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670179 писал(а):

Возьмите в качестве displacemet функции ($\textbf{r}(t)$) нехорошую функцию, скажем, чтобы левые и правые производные от скорости различались в каком-то моменте.

Это ровно та же задача, которая рассматривалась ранее - пережигание нитки. Радиус-вектор и скорость непрерывны, ускорение терпит разрыв.
Ответ тут такой:
1. Если продолжительность пережигания нитки короткая, и нам неважно (например, из соображений точности расчета) что и как происходит в этом процессе (в процессе пережигания нитки). То
а) считаем пережигание моментальным
б) Скорость непрерывна, но имеет излом.
в) Ускорение терпит разрыв. В точке разрыва ускорение не имеет значения $\Leftrightarrow$ не определено.

А раз ускорение не имеет значения, то оно не имеет значения как "из прошлого", так и "из будущего". Никаких проблем с причинностью не возникает.

2. Если продолжительность пережигания нитки не короткая, и нам важно понять, как тело двигается в этом процессе, то модель с "моментальным" пережиганием не подходит.

[drzewo]

(Оффтоп)

When the function $h$ is discontinuous in $x$ then even examples that are pretty innocuous from the first glance can provide nonexistence.
Indeed, consider a scalar IVP

$$ \dot x=h(x),\quad x(0)=1,$$

where

$$h(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{if } x\le 1, \\ -1, & \mbox{if } x>1. \end{cases}$$

This problem does not even have a continuous solution $x(t)$ in the sense of integral equation:

$$x(t)=1+\int_0^th(x(\xi))d\xi,\quad t>0.$$

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1670196 писал(а):

$\textbf{r}(t)$ - position, по определению.

Тогда displacement (position shift) - это не $\mathbf{r}(t)$ (а $\mathbf{s}(t)$)

Видимо, skobar смешал в кучу радиус-вектор и перемещение.

[drzewo]

(Оффтоп)

радиус-вектор=position vector