2 закон ньютона

[Most1k]

Пусть функция равнодействующей силы от времени $F(t)=t$ на материальную точку задана и непрерывна на промежутке промежутке [2,5] и $F(t)=0$ на (5,7] с .могу ли я найти ускорение в момент времени 5 с. На первый взгляд простая задача(наверное она таковой и является),если записать 2 закон Ньютона для момента 5 с $a(5)=F(5)/m$ и мы получим какое то конечное значение,но у меня возникает парадокс:если ускорение в точке 5 это значение отношения изменения скорости к бесконечно малому приращению времени рядом с этой точкой,а на протяжении этого промежутка времени сила по факту равна 0,то как скорость вообще может изменяться.я не правильно размышляю или в 2 законе ньютона есть оговорка на то что функция силы должна быть непрерывна

[drzewo]

В принципе оговорка есть. Правая часть во втором законе Ньютона должна удовлетворять теореме существования и единственности Коши. Если это не так, то добро пожаловать в негладкую механику. Там надо специально определять понятие <<решение>>. Варианты бывают разные, зависимо от физики задачи. Например, может рассматриваться регуляризация по Филиппову -- специальный вид дифференциальных включений.

-- 03.01.2025, 00:06 --

В Вашем случае, наверное, естественно искать решение с непрерывной скоростью

[EUgeneUS]

Most1k
Я Вам в рамках школьной программы отвечу.

Пусть

$$\begin{cases} F(t)=t,&\text{если $t \in (2, 5)$;}\\ F(t)=0,&\text{если $t \in (5, 7)$.} \end{cases}$$

То есть в точке $t=5$ сила вообще не определена.
1. Может ли тело телепортироваться? Нет А значит разрыва траектории быть не может.
2. Может ли тело скачком изменить скорость? Не может, если сила в этой точке принимает конечное значение. (Всякие удары в этом случае рассматривать не будем).
(об этом было сказано выше тут:

drzewo в сообщении #1668272 писал(а):

В Вашем случае, наверное, естественно искать решение с непрерывной скоростью

).
3. Может ли ускорение измениться скачком? Да, может.

Таким образом, для нахождения закона движения материальной точки $x(t)$, нам вообще не важно знать какое ускорение в этой (в одной, в данном случае) точке.

Формально можно записать $a(5)=\ddot{x}(5) = \frac{F(5)}{m}$, раз уж $F(5)$ задано.
Но нужно понимать, что ускорение $a=\ddot{x}$ в этой точке терпит разрыв, и вторую производную нужно брать не "обычную", а левостороннюю.

[Most1k]

Обратите внимание что сила в момент $t=5$,определена как 5. И если проинтегрировать мы получим что на первом промежутке скорость квадратично возрастает а на втором она константа,ну и в точке 5 левая производная не равна правой, а значит и функция как я понимаю не дефиринцируема в этой точке.ну впрочем это уже не особо важно,я изначально понимал что для описания движения это никак не понадобится,просто мозг иногда подкидывает задачки,хотелось немного прояснить

[wrest]

Most1k в сообщении #1668279 писал(а):

Но нужно понимать, что ускорение $a=\ddot{x}$ в этой точке терпит разрыв, и вторую производную нужно брать не "обычную", а левостороннюю.

Ну да, тут получается так, что если 2 закон записываем "по-школьному" $F=ma$ то всё хорошо. А если "как Ньютон написал" $F=dp/dt$, то надо решить что с этим делать с точки зрения исчисления бесконечно малых.

Но вот интересно, если груз висит на нити и её "мгновенно пережигают" в момент $t=0$, то чему равно ускорение в этот момент?

[EUgeneUS]

Most1k в сообщении #1668279 писал(а):

Обратите внимание что сила в момент $t=5$,определена как 5.

Я предлагаю (как минимум на первом этапе) забыть, что силу определили в этой точке.

Most1k в сообщении #1668279 писал(а):

И если проинтегрировать мы получим что на первом промежутке скорость квадратично возрастает а на втором она константа,ну и в точке 5 левая производная не равна правой, а значит и функция как я понимаю не дефиринцируема в этой точке

Тут сложно понять, что имелось в виду.
Но повторю.
I. В точке $t=5$ из физических соображений:
1. Функция $x(t)$ - непрерывна и дифференцируема.
2. Функция $v(t)=\dot{x}(t)$ - непрерывна, но не дифференцируема.
3. Функция $a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}$ - терпит неустранимый разрыв.

II. I.1 и I.2 используются как краевые условия, для "сшивки" решений на промежутках, где "всё гладко".

Высказанного достаточно для нахождения решения.

III. Если есть странное желание, то функцию $a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}(t)$ можно доопределить в точке $t=5$. Хоть как $a(5) = F(5)/m$, хоть любым конечным значением - ни на что это не влияет.

wrest

(Оффтоп)

У Вас ус отклеился. У Вас выше авторство цитаты ошибочное

-- 03.01.2025, 11:48 --

wrest в сообщении #1668282 писал(а):

Но вот интересно, если груз висит на нити и её "мгновенно пережигают" в момент $t=0$, то чему равно ускорение в этот момент?

Если пережигание нитки - одномоментное событие, а не растянутый по времени процесс, то - ничему.
Честно признаёмся, что не знаем, какая сила действует на груз в этот момент, и записываем:

$$\begin{cases} F(t)=0,&\text{если $t < 0$;}\\ F(t)= -mg,&\text{если $t > 0$.} \end{cases}$$

и не греем голову странными вопросами

[realeugene]

Most1k в сообщении #1668271 писал(а):

могу ли я найти ускорение в момент времени 5 с

Нет. Обобщённые функции не имеют определённых значений в отдельных точках. Ускорение как обобщённая функция есть, а точного значения в точке нет. Равно, сила у вас задана в каждый момент времени просто для удобства записи. Вы можете обнулить свою силу при $t=5$, и от этого вообще ничего не изменится.

-- 04.01.2025, 20:15 --

Most1k в сообщении #1668271 писал(а):

но у меня возникает парадокс:если ускорение в точке 5 это значение отношения изменения скорости к бесконечно малому приращению времени рядом с этой точкой,а на протяжении этого промежутка времени сила по факту равна 0,то как скорость вообще может изменяться.я не правильно размышляю или в 2 законе ньютона есть оговорка на то что функция силы должна быть непрерывна

Безотносительно к физике, односторонние производные изучают на первом курсе университета в курсе матанализа.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1668452 писал(а):

Ускорение как обобщённая функция есть, а точного значения в точке нет.

Ускорение в нашем примере - обычная разрывная функция. А вот производную от ускорения по времени можно выразить через обобщённую функцию (дельта-функцию Дирака).

[skobar]

А если использовать просто здравый смысл и рассуждать так:
Будущее не должно влиять на прошлое. На промежутке времени от 2 секунд до 5 секунд включительно (и это важно, что включительно) на материальную точку действует сила $F(t)=t$ . Потом сила исчезает (когда значения времени строго больше 5 секунд), но это происходит уже в будущем по отношению к моменту времени $t=5$ секунд, и поэтому на ускорение частицы в этот момент времени влиять не должно. Соответственно на ответ задачи влияет только сила до и включая момент $t=5$ секунд, и далее все понятно.
Или в физике такой здравый смысл не работает?
Хотя, с другой стороны никто не сказал, что на понятие ускорения точки в моменте не должно влиять будущее после этого момента. Возникают вопросы к математической модели описания реальности.

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670139 писал(а):

Соответственно на ответ задачи влияет только сила до и включая момент $t=5$ секунд, и далее все понятно.
Или в физике такой здравый смысл не работает?

Здравый смысл говорит, что "на ответ задачи влияет сила до. А включая или исключая - не влияет.

[skobar]

EUgeneUS в сообщении #1670143 писал(а):

Здравый смысл говорит, что "на ответ задачи влияет сила до. А включая или исключая - не влияет.

Представьте себе, что гиря падает на пол. Какое будет ускорение гири в момент удара о пол? Такое же, как и если бы она продолжала падать?
Если что, я ни разу не физик, но любопытно, чтобы физики пояснили вопрос.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1670103 писал(а):

Ускорение в нашем примере - обычная разрывная функция. А вот производную от ускорения по времени можно выразить через обобщённую функцию (дельта-функцию Дирака).

Это ускорение как обобщённая функция всюду регулярно, так как можно представить обычной функцией. Тем не менее это пример, когда рассуждать про значение ускорения в точке бессмысленно.

Вообще, в физических моделях нередко для простоты рассматривают только нужное число раз дифференцируемые функции. У непрерывной по условию функции значение в каждой точке есть, конечно.

-- 15.01.2025, 15:31 --

skobar в сообщении #1670145 писал(а):

Если что, я ни разу не физик

А кто?
На каком языке вам объяснять?

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670145 писал(а):

Какое будет ускорение гири в момент удара о пол?

Если "момент" - это именно момент, точка. То ускорение будет бесконечным, а точнее - дельта-функцией, чтобы интеграл по времени дал изменение импульса.

-- 15.01.2025, 15:35 --

А вот о скорости гири в этой точке мы ничего сказать не сможем, кроме того, что функция $v(t)$ в этой точке терпит разрыв.

[skobar]

EUgeneUS в сообщении #1670147 писал(а):

Если "момент" - это именно момент, точка. То ускорение будет бесконечным, а точнее - дельта-функцией, чтобы интеграл по времени дал изменение импульса.

Я всегда думал, что ускорение в каком-то моменте - это число, и функцией быть не может. Предполагаю, что вы имеете ввиду, что в данном случае нельзя говорить о численном значении ускорения, примерно как нельзя говорить о "значении" дельта функции в нуле, так?

-- 15.01.2025, 15:48 --

Но если ускорение гири в момент удара о пол "будет бесконечным":

EUgeneUS в сообщении #1670147 писал(а):

ускорение будет бесконечным

то как же тогда

EUgeneUS в сообщении #1670143 писал(а):

Здравый смысл говорит, что "на ответ задачи влияет сила до. А включая или исключая - не влияет.

?

[EUgeneUS]

skobar в сообщении #1670149 писал(а):

Я всегда думал, что ускорение в каком-то моменте - это число, и функцией быть не может

В каком-то моменте - число. Точно также, как значение функции в какой-то точке тоже число.

skobar в сообщении #1670149 писал(а):

Предполагаю, что вы имеете ввиду, что в данном случае нельзя говорить о численном значении ускорения, примерно как нельзя говорить о "значении" дельта функции в нуле, так?

В той модели, которую Вы предлагаете (мгновенный удар) - да.

skobar в сообщении #1670149 писал(а):

то как же тогда

А никак. Разные задачи, разные модели. Почему должно удивлять, что что-то ещё оказалось разным?