Литература (сайты, Ютьюб и т.д.) по теории действительных чи

[katzenelenbogen]

Подскажите, где приводится хорошее описание теории действительных чисел, содержащее примерно следующее:

определение множества действительных чисел,
объяснение, почему это опредление именно так устроено, а не по-другому,
объяснение, почему именно умножение отрицательного числа на отрицательное даёт положительное, отрицательное на положительное - отрицательное, и т.д.
описание общеизвестных свойств действительных чисел, к которым все привыкли, и почему они согласуются с определением,
и так далее.

Я пытаюсь сказать вот что. Понятно, что определение множества действительных чисел даётся в любом курсе и в любом учебнике математического анализа. Но там оно приводится, по сути, без обоснования, то есть, говорится, типа: "Вот это - определние множества действитлеьных чисел, и всё," - ну, то есть, в форме оскорбления. Похоже на оскорбление, являющееся безосновательным.

Нигде мне пока не попадалось полностью целостное и полностью понятное объяснение, почему это определение именно так устроено, почему аксиомы выбраны именно так, а не как-то по-другому, и т.д. Чтобы проработавший такой материал понимал связь с обычными свойствами чисел. Чтобы полностью владел теорией действительных чисел и все их свойства понимал чётко. В качестве примера я привёл закон умножения отрицательных чисел, который большинство людей, по-моему, объяснить не в состоянии, а просто привыкли к нему.

Я посмотрел темы с рекомендуемой литературой по разным учебным дисциплинам и разделам математики, но не нашёл там.

Спасибо.

-- 07.01.2025, 06:44 --

Уместно добавить такую вещь.

По поводу многих лучших учебников по математическому анализу. Например, учебник В.А. Зорича. Что там содержится, кроме аксиоматического опредления. так это вывод многих обычных свойств чисел из аксиом. То есть, это там есть, но не имеется того, что я описал выше.

[drzewo]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

"Вот это - определние множества действитлеьных чисел, и всё," - ну, то есть, в форме оскорбления.

Старый анекдот напомнило

Арестовали мужика за то, что разбил витрину пивного ларька.

Спрашивают: «Зачем ты её разбил?»

А он: «Иду за пивом, подхожу, надпись: «Пива нет». Ну ладно бы — просто написали, что пива нет, а то: «ПИИИВВААА НЕЕЕЕЕТ!!!»

[dgwuqtj]

Например, есть книжка В. И. Нечаев, Числовые системы.

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

объяснение, почему именно умножение отрицательного числа на отрицательное даёт положительное, отрицательное на положительное - отрицательное, и т.д.

Так это вам сначала надо про целые числа прочитать.

[sergey zhukov]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

В качестве примера я привёл закон умножения отрицательных чисел

Какие есть варианты закона умножения? Может быть такой?:
$a\times b=ab$
$(-a)\times b=ab$
$a\times (-b)=-(ab)$
$(-a)\times (-b)=-(ab)$

[Anton_Peplov]

sergey zhukov в сообщении #1668868 писал(а):

Может быть такой?

Забавный вариант. Не указано, что $a \times b = b \times a$. Если принять это как дополнительную аксиому, имеем $ab = -(ba)$. Если подразумевается, что $a, b \in \mathbb Z$, такой закон умножения может выполняться только при $a =0$ или $b = 0$. Арифметика безысходности: умножать можно только на ноль.

[Booker48]

Возможно, подойдёт брошюра Дедекинда "Непрерывность и иррациональные числа" в пер. проф. Шатуновского.

[Gagarin1968]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

Подскажите, где приводится хорошее описание теории действительных чисел, содержащее примерно следующее:

определение множества действительных чисел,
объяснение, почему это опредление именно так устроено, а не по-другому,
объяснение, почему именно умножение отрицательного числа на отрицательное даёт положительное, отрицательное на положительное - отрицательное, и т.д.
описание общеизвестных свойств действительных чисел, к которым все привыкли, и почему они согласуются с определением,
и так далее.

katzenelenbogen
Судя по этому списку Вам нужен обычный школьный учебник. Вот например, такой:



Учебнику уже более полувека, но, поверьте, все эти Ваши вопросы (даже включая "и так далее") тщательно разжёвываются.
Этот учебник я на скорую руку надыбал в своём книжном шкафу. Но Вы можете воспользоваться и любым более современным.
Но полагаю, что начать надо именно с такого.

[Someone]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

определение множества действительных чисел,
объяснение, почему это опредление именно так устроено, а не по-другому,

Вы думаете, что существует только одно определение множества действительных чисел? Их довольно много разных и даже совсем непохожих.

Почему они именно такие? Потому что они правильно воспроизводят свойства множества действительных чисел, усвоенные за тысячелетия из практики.

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

объяснение, почему именно умножение отрицательного числа на отрицательное даёт положительное, отрицательное на положительное - отрицательное, и т.д.

Это следует из свойств арифметических операций, усвоенных человечеством из практики. Формально свойства арифметических операций формулируются как аксиомы. Вывод интересующих вас свойств — в пункте VI.

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

описание общеизвестных свойств действительных чисел, к которым все привыкли, и почему они согласуются с определением,

Вот по указанной ссылке большинство этих свойств сформулированы в виде аксиом. Но ещё не все. Например, отсутствуют аксиомы порядка, аксиома Архимеда, аксиома полноты. Ничего не сказано о норме, известной Вам под названиями "модуль" или "абсолютная величина".

Что касается вашего "почему", то ответ прост: потому что все определения специально строятся так, чтобы согласовываться с "общеизвестными свойствами действительных чисел". Если определение не согласуется с этими свойствами, то оно "по определению" не является определением множества действительных чисел.
С другой стороны, в случае каждого конкретного определения вопрос может оказаться сложным. Доказательство того, что конкретно взятое определение нужным условиям удовлетворяет, может оказаться сложным и громоздким.

[Mikhail_K]

katzenelenbogen
Таким образом, определение/аксиомы выбираются так, чтобы на их основе удалось построить теорию вещественных чисел с привычными нам свойствами этих чисел. Что авторы учебников и демонстрируют, доказывая эти свойства.

Можно ли выбрать другое определение, другие аксиомы и тоже доказать те же самые свойства? Да, можно.

В общем, так в математике бывает очень часто: когда формулируется определение, поначалу непонятно, зачем оно такое нужно и почему именно такое. Но потом на основе этого определения доказываются какие-то утверждения, и постепенно становится понятна его полезность. Эти утверждения, с их доказательствами, как раз и служат объяснением, зачем определение было нужно.

Кроме классических учебников Фихтенгольца, Кудрявцева и Решетняка по математическому анализу (где в начале как раз излагается теория вещественных чисел), посмотрите ещё:
Демидов. Основания арифметики

[pppppppo_98]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

Я пытаюсь сказать вот что. Понятно, что определение множества действительных чисел даётся в любом курсе и в любом учебнике математического анализа. Но там оно приводится, по сути, без обоснования, то есть, говорится, типа: "Вот это - определние множества действитлеьных чисел, и всё," - ну, то есть, в форме оскорбления. Похоже на оскорбление, являющееся безосновательным.

Для этого надо вам уважаемый алгебру изучить и довольно продвинуто изучить - то теории колец ...Если таки у вас хватит время на это , тогда дальше вам нужно смотреть в строну дедекиндовых сечений https://ncatlab.org/nlab/show/Dedekind+cut

-- Вт янв 07, 2025 18:03:50 --

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

В качестве примера я привёл закон умножения отрицательных чисел, который большинство людей, по-моему, объяснить не в состоянии, а просто привыкли к нему.

а аксиомы пеано натуральных чисел вас не устраивают, и последущее конструктивное представление множества целых чисел в виде пар натуральных чисел. Ежели чо это теорема Гротендика - в Алгебре от Бурбаки (первая книга) она приводится, со всеми доказательствами умножений. Бурбаки не очень то любима математиками за своеобразный подход, но в целом достаточно универсальная книга по абстрактной математике(хотя и сложновато читать).

ЗЫ

Целые числа кстати взяты из самой что ни на есть практики. Если когда нибудь видели бухгалтерский баланс - это и есть прародитель целых чисел

[skobar]

katzenelenbogen в сообщении #1668860 писал(а):

Нигде мне пока не попадалось полностью целостное и полностью понятное объяснение, почему это определение именно так устроено, почему аксиомы выбраны именно так, а не как-то по-другому, и т.д.

:) Человечество к современному аксиоматическому определению действительных чисел шло веками, постепенно, а вы хотите некое "полностью целостное и понятное объяснение, почему аксиомы именно такие, какие они есть" (очевидно, короткое). Боюсь, что такого короткого и понятного объяснения в принципе не существует. Чтобы понять, почему аксиомы выбраны так, а не иначе, вам нужно погрузиться в тему, провести много времени наедине с вещественными числами, подробно изучить существующие методы их построения, попробовать дать определение самому, и, постепенно, понимание придет. Только так. Вы должны потратить много времени, обдумывая предмет и вникая в детали. Нет царских путей к геометрии.

Если вы готовы потратить на это время, то на английском есть хорошая книжка Ebbinghaus, Hermes и др. "Numbers":
https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 612-1005-4

В заключение, думаю, будет уместно привести цитату немецкого математика Л. Кронекера: «Бог создал целые числа; всё остальное ― дело рук человека».

[katzenelenbogen]

skobar в сообщении #1668985 писал(а):

вы хотите некое "полностью целостное и понятное объяснение, почему аксиомы именно такие, какие они есть" (очевидно, короткое)

Домысливаете. И тем самым ведёте себя неприятно. В исходном тексте моего вопроса нет ничего насчёт длины. Там другие критерии того, что я хотел бы увидеть, и обоснование этих критериев я привёл. Обе вещи доказаны текстом первого сообщения.

Насчёт рекомендации книги спасибо. Посмотрел её аннотацию, по аннотации - интересно. Непонятно, есть ли она в библиотеках.
Вместе с тем, хотелось бы источник по-русски.


Вообще, тот вопрос, который я задал, над ним я думал много лет, хотя и несистематически. Думаю, у него есть следующее свойство. Поскольку то, о чём я спрашиваю, не относится к категории научной новизны, все эти вещи доказаны, опубликованы и объяснены, поэтому должны быть эти объяснения на русском языке.

Ещё интересно, и это видно по ответам, что в прикреплённых темах со списками литературы и со станадартными рекомендациями, а также в Ютьюбе в записанных лекционных курсах даже из считающихся самыми сильными заведений как-то нет, чтобы сразу было, того, что я запросил.

[dgwuqtj]

katzenelenbogen в сообщении #1669032 писал(а):

в записанных лекционных курсах даже из считающихся самыми сильными заведений как-то нет, чтобы сразу было, того, что я запросил.

Конечно, потому что студенты это из школы знают. Такие вещи обычно либо в дополнительной литературе для школьников, либо в пособиях для педвузов.

[skobar]

katzenelenbogen в сообщении #1669032 писал(а):

Домысливаете. И тем самым ведёте себя неприятно.

Да, домысливаю. Извиняюсь, если вам не понравилось.

katzenelenbogen в сообщении #1669032 писал(а):

Насчёт рекомендации книги спасибо. Посмотрел её аннотацию, по аннотации - интересно. Непонятно, есть ли она в библиотеках.

Ну если у вас есть время и желание, и объем вас не пугает, то вот:
Выложил книгу на google drive. Держите:
https://drive.google.com/file/d/1Eguml5 ... sp=sharing

dgwuqtj в сообщении #1669033 писал(а):

Вместе с тем, хотелось бы источник по-русски.

По-русски вам уже назвали книги. Есть ещё древняя книга Эдмунда Ландау "Основы анализа" (не путать с физиком Ландау :) ), там он все подробно про определение чисел разжевывает, для любителей строгого изложения. Книга есть в сети.

Читайте книги, медитируйте на прочитанное, и понимание придёт. Говорю без иронии.

[bot]

skobar в сообщении #1668985 писал(а):

В заключение, думаю, будет уместно привести цитату немецкого математика Л. Кронекера: «Бог создал целые числа; всё остальное ― дело рук человека».

Сейчас он бы сказал иначе: Бог создал пустое множество, всё остальное ― дело рук человека».