Уравнение в целых числах, которое встречалось на форуме.

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
topic3422.html
Попытался решить пример из этой темы самостоятельно. Хочу проверить мои рассуждения.
$y^2=1+x+x^2+x^3+x^4$
уравнение в целых числах.

$1+x+x^2$-нечётное число,

$x^3+x^4=x^3(1+x)$-чётное. Отсюда следуют, что $y$-нечётно.

Заменим $y=2m-1$ и предположим, что $x$-чётно, т.е. $x=2n$
тогда из $y^2-1=(x+x^2)(1+x^2)$

$y^2-1=x(1+x)(1+x^2)$

имеем
$4m^2-4m=2n(1+2n)(1+(2n)^2)$

На этом моменте возник вопрос.
$1+2n,1+(2n)^2$-нечётны.

$2m^2-2m=n(1+2n)(1+(2n)^2)$
Я рассуждаю так, слева чётное слагаемое, значит и справа должно быть чётным. Но мы можем всё время $n$ заменять на чётное и делить на $2$.
На каком-то этапе справа получится нечётное число. А это противоречие, отсюда следует что $x$-нечётно.
Я понимаю, что $x=0$ решение изначального уравнения, но я его рассматривал отдельно.
Доказал ли , что $x$, отличное от нуля, нечётно?
Заранее спасибо за ответы.

[mihaild]

Ivan 09 в сообщении #1666364 писал(а):

Но мы можем всё время $n$ заменять на чётное и делить на $2$

Непонятно. Вы утверждаете, что если есть решение $(m, n)$ с четным $n$, то есть и решение $(m', n')$ с $n' < n$? Почему?

[Ivan 09]

mihaild
Спасибо за столь быстрый ответ.
После Вашего вопроса я засомневался, забыл свои рассуждения.

Ivan 09 в сообщении #1666364 писал(а):

$2m^2-2m=n(1+2n)(1+(2n)^2)$

Но это уравнение действительно не имеет решений, кроме как вида $0=0$.
Мне надо время)

[Gagarin1968]

Ivan 09
Вот здесь приведено верное решение этого уравнения.

[nnosipov]

Ivan 09
Этому уравнению более 100 лет. Здесь оно обсуждалось много раз, уже дали ссылки. Моя гипотеза относительно этого уравнения такова: оно решается только одним способом (все остальные, которые якобы "попроще", будут ошибочными).

[Ivan 09]

Gagarin1968
nnosipov
Спасибо вам за ответы. Напишу идею, которая у меня была.
Привести уравнение к виду.
$4p^2-4p=x(x+1)(x^2+1)$
и рассмотреть отдельно случаи, когда $x=4t$, $x^2+1=4t$ и $x+1=4t$
Если мы рассмотрим отдельно случай $x=0$ , и нечётность $x$ в других случаях, то останется только
$\left\{\begin{array}{l} m^2-m=tx(1+x^2), \\ x=4t-1. \end{array}\right$
и как раз решения при $t=0$,$t=1$ . Других решений нет(вроде бы).

Ivan 09 в сообщении #1666367 писал(а):

$2m^2-2m=n(1+2n)(1+(2n)^2)$

Я хотел бы заострить внимание на этом уравнение, действительно ли, что оно имеет только нулевые решения?
вольфрам говорит об этом, но как это доказать?
Я бы хотел обсудить именно эти вопросы. Я понимаю, что может это плохой метод решения. Но при попытках возник ряд вопросов, именно их я и задаю.

[nnosipov]

Ivan 09 в сообщении #1666413 писал(а):

Я хотел бы заострить внимание на этом уравнение, действительно ли, что оно имеет только нулевые решения?

Да, уравнение

$$2m^2-2m=n(1+2n)(1+4n^2)$$

имеет только решения $(m,n) \in \{(0,0),(1,0)\}$. Доказать это не проще, чем решить исходное уравнение. Вообще, нельзя надеяться на существенное упрощение ситуации при линейных заменах неизвестных.