Диофантово уравнение 2-го порядка

[мат-ламер]

Ради интереса решил посмотреть, присутствует ли эта задача (или класс задач) в цитируемых книгах
http://library.lol/main/4F17982CE43B7BB0AE7543C1946A22DD ,
http://library.lol/main/1BA3F4E9D15747C0CD71489FC9BCD85F .
Если что найду, отпишусь позже.

P.S. Не нашёл. В параграфе 13.4 в качестве упражнений предлагается решить уравнения $4x^2+9y^2=100$ или $x^2-29y^2=1$ . Но это не совсем то.

P.P.S. Может быть в тему Боревич, Шафаревич "Теория чисел", пар. 1.3.

[Gepidium]

nnosipov в сообщении #1536162 писал(а):

Вот Вам для тренировки уравнение (которое принадлежит семейству уравнений, для которого есть алгоритм решения): $y^2=x^4+x^3+x^2+x+1$. Если сможете его сами решить (а здесь есть элементарное решение), то это будет очень неплохо.

nnosipov в сообщении #1536165 писал(а):

Gepidium в сообщении #1536163 писал(а):

А решить в натуральных или целых?

Пусть в натуральных, это неважно.
Здесь на форуме это (и подобные ему) уравнения обсуждались много раз.

Я нашла это обсуждение здесь на форуме. Вот оно.
Я не всё поняла в нём, но там оно решалось в целых. Вы же, nnosipov, мне предложили решить в натуральных. Вы пишете, что это неважно, но в решении, которое я придумала, ограничение $x,y \in \mathbb{N}$ имеет, по-моему, решающее значение. Хотя Вы можете посчитать его доморощенным, но я потратила на решение этой задачи 2 дня.
Сначала, я попыталась преобразовать исходное уравнение либо разложив правую часть на множители, либо выделив в ней полный квадрат. Начались шаманские заклинания и танцы с бубнами (т.е. различные группирования, перестановки и разбиения членов в правой части). Ничего не получилось.
Тогда я умножила обе части исходного уравнения на $4$ (чтобы сохранить в левой части полный квадрат). Опять танцы с бубнами - и ничего!
Потом умножила исходное уравнение на $9$, на $16$, на $25$, на $36$, на $49$, причём каждый раз те же мучительные попытки разложить или выделить. Результат ноль.
И только умножив обе части на $64$, у меня началось что-то вырисовываться.

$64y^2=64x^4+64x^3+64x^2+64x+64$

$(8y)^2=(64x^4+64x^3+64x^2+24x+9)+40x+55$

$(8y)^2=(8x^2+4x+3)^2+40x+55$

Не совсем полный квадрат, но тут можно применить "Method based on the evaluation of expressions included in the equation", описанный в указанном мной учебнике

Gepidium в сообщении #1536160 писал(а):

Rosen, Elementary number theory

Только при условии, что $x$ и $y$ - натуральные, можно записать неравенство $8x^2+4x+3<8y$,

или $2x^2+x+\frac {3}{4}<2y$,
или, учитывая дискретность $y$, $2x^2+x+1\leqslant 2y$.

Возводим обе части этого неравенства в квадрат: $(2x^2+x+1)^2\leqslant 4y^2$.
Теперь раскрываем скобки в левой части получившегося неравенства, а в правой - заменяем $y^2$ на правую часть исходного уравнения.

Получается $4x^4+4x^3+5x^2+2x+1\leqslant 4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$,

или $x^2-2x-3\leqslant 0$. Это неравенство выполняется при $-1\leqslant x\leqslant 3$.
Поскольку $x$ - натуральное, надо перебрать всего 3 значения $x$:
При $x=1$ из исходного уравнения $y^2=5$. Не подходит.

При $x=2~~~~y^2=31$. Не подходит.

При $x=3~~~~y^2=121$. Подходит!!
Значит, исходное уравнение имеет единственное решение $x=3~~~~y=11$.
Всё правильно? Не зря я на 2 дня забросила все дела?

[nnosipov]

Gepidium в сообщении #1536438 писал(а):

Всё правильно? Не зря я на 2 дня забросила все дела?

Да, все верно, так что точно не зря Мне особенно понравилось вот это:

Gepidium в сообщении #1536438 писал(а):

учитывая дискретность $y$

Весьма изящно. Хотя можно было и попроще (в некотором смысле): доказать двойное неравенство $8x^2+4x+3<64f<8x^2+4x+4$, где $f=x^4+x^3+x^2+x+1$, при $x>3$. Главное, что здесь есть --- это оценки (неравенства), вот с их помощью и решаются подобные диофантовы уравнения. И, что очень правдоподобно, никак иначе. Во всяком случае, попытки решить это (или подобное) уравнение другим, как бы более простым способом, оказываются провальными: см., например,

1. Grigorieva E. Methods of solving number theory problems. Birkhäuser, 2018. Задача 173 на стр. 194.

2. Кушнир И. Шедевры школьной математики. Т. 2. Киев: «Астарта», 1995. Задача 13 на стр. 253.

Кстати, а нет ли этого (или подобного) уравнения в Вашем учебнике (2011 г. издания)? Я его (учебник) нашел, но не успел еще проглядеть, там больше 700 страниц.

[Gepidium]

nnosipov в сообщении #1536470 писал(а):

Кстати, а нет ли этого (или подобного) уравнения в Вашем учебнике (2011 г. издания)? Я его (учебник) нашел, но не успел еще проглядеть, там больше 700 страниц.

Да, учебник толстенный, только 2010 года издания.
Нет, такого уравнения там нет. Там вообще выше второй степени нет.
Упоминается этот метод - оценки частей уравнения, и в качестве примера - пара совсем простых показательных уравнений.