Диофантово уравнение.

[Imperator]

Решить в целых числах следующее уравнение:
$y^{2}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}.$

[juna]

Уравнение нужно привести к виду $x(y-x^2)(y+x^2)=(y-1)(y+1)$

[Руст]

Можно привести и к другой форме произведений:
$5x^2=(2x^2+x+2-2y)(2x^2+x+2+2y)$

[Руст]

Учитывая, что х и у взаимно просты, отсюда сразу получаются только две возможности разложения
$2x^2+x+2-2y=\pm 1,2x^2+x+2+2y=\pm 5x^2
или
$2x^2+x+2-2y=\pm 5,2x^2+x+2+2y= \pm x^2
остальные возможности относятся к изменению знака у у.
Соответственно все целые решения есть $x=0,y=\pm 1,x=-1,y=\pm 1, x=3,y=\pm 11$

[Woland]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Уравнение нужно привести к виду $x(y-x^2)(y+x^2)=(y-1)(y+1)$

Я привёл уравнение к такому виду. И что же делать дальше?
Единственно, чем мне помогает эта запись, так это тем , что из неё видно ,что
число стоящее слева, должно делится на 8. Кроме этого - нечего невидно.

[juna]

Исправлю

[juna]

Удалено автором

[Woland]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

$(x,y)=1$ поэтому $(x-y^2,x+y^2)=1$, кроме того $(y-1,y+1)=1$

Виноват, но y-может быть лишь нечётным, по этому $(y-1,y+1)=2$

[juna]

Если $y\equiv 1\bmod2$, $x\equiv 0\bmod4$, то
$4x_1(y-16x_1^2)(y+16x_1^2)=4\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$, $x=4x_1$
1. $x_1(y-16x_1^2)(y+16x_1^2)=\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$
Если $y\equiv 1\bmod2$, $x\equiv 1\bmod2$, то
2. $x\frac{(y-x^2)}{2}\frac{(y+x^2)}{2}=\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$
И это действительно мало что дает. Нужно, чтобы в одной из частей было число - тогда можно пользоваться взаимной простотой.
Поэтому лучше следовать разложению Руста. Оно получено следующим образом:
$y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})=\prod_{k=1}^{2}(x^2-2xcos(2\pi k/5)+1)$ т.е.
$y^2=(x^2-\frac{x(\sqrt{5}-1)}{2}+1)(x^2+\frac{x(\sqrt{5}+1)}{2}+1)$
$4y^2=(2x^2-x(\sqrt{5}-1)+2)(2x^2+x(\sqrt{5}+1)+2)$
$$4y^2=((2x^2+x+2)-x\sqrt{5})((2x^2+x+2)+x\sqrt{5})=(2x^2+x+2)^2-5x^2$ и т.д.

[Woland]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Поэтому лучше следовать разложению Руста. Оно получено следующим образом:
$y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})=\prod_{k=1}^{2}(x^2-2xcos(2\pi k/5)+1)$

Откуда эта формула вообще взялась? То есть почему вдруг $y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})$? Как это связанно с нашим уравнением?

[juna]

$\frac{x^5-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})$ - общеизвестная формула разложения на линейные множители многочлена деления круга

[sergey1]

Можно домножить обе части исходного уравнения на 4, выделить полный квадрат и расположить $(2y)^{2}$ между квадратами соседних чисел:

$(2y)^2=(2x^2+x)^2+3x^2+4x+4=(2x^2+x+1)^2-x^2+2x+3$,
отсюда
$(2x^2+x)^2<(2y)^2<(2x^2+x+1)^2$ при всех $x$,кроме
-1,0,1,2,3. Целые решения получатся при х=-1, х=0, х=3 - как и у Руста.

[Батороев]

В натуральных числах...
Преобразуем исходное уравнение:

$(x^2+x)\cdot(x^2+1)=y^2-1 \eqno (1)$

Отсюда видно, что левая часть (1) должна иметь два множителя, отличающиеся на $2$.
Первая скобка больше второй на $(x-1)$, следовательно, одно решение получится из $(x-1)=2$ или $x=3$.
При дальнейшем увеличении $x$ разность между первой и второй скобками будет только расти.

Также необходимо рассмотреть и такую разность между возможными множителями левой части:

$ k\cdot (x^2+1)-\dfrac {(x^2+x)}{k}=\pm 2 \eqno (2)$

где $k$ - собственный делитель числа $(x^2+x)$ (т.к. первая скобка больше второй).

Но легко доказывается, что левая часть (2) при $ x>3; k>1$ больше разности $(x-1)$, а соответственно, больше $2$.
Следовательно, полученное решение - единственное.

[nnosipov]

Какая архивная тема! Оказывается, я ее раньше не видел.

Руст в сообщении #26997 писал(а):

отсюда сразу получаются только две возможности разложения
$2x^2+x+2-2y=\pm 1,2x^2+x+2+2y=\pm 5x^2
или
$2x^2+x+2-2y=\pm 5,2x^2+x+2+2y= \pm x^2
остальные возможности относятся к изменению знака у у.

Ну да, сразу. Это не очевидно и не доказано, так что задача не решена.

-- Ср окт 27, 2021 22:41:21 --

Батороев
На Ваш текст завтра напишу рецензию, сейчас есть срочные дела.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #1536568 писал(а):

Оказывается, я ее раньше не видел.

Я тоже. Эту тему нашла ТС соседней темы:

Gepidium в сообщении #1536438 писал(а):

Я нашла это обсуждение здесь на форуме. Вот оно.