2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Диофантово уравнение.
Сообщение22.07.2006, 21:20 


30/06/06
313
Решить в целых числах следующее уравнение:
$y^{2}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2006, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Уравнение нужно привести к виду $x(y-x^2)(y+x^2)=(y-1)(y+1)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2006, 22:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно привести и к другой форме произведений:
$5x^2=(2x^2+x+2-2y)(2x^2+x+2+2y)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2006, 22:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Учитывая, что х и у взаимно просты, отсюда сразу получаются только две возможности разложения
$2x^2+x+2-2y=\pm 1,2x^2+x+2+2y=\pm 5x^2
или
$2x^2+x+2-2y=\pm 5,2x^2+x+2+2y= \pm x^2
остальные возможности относятся к изменению знака у у.
Соответственно все целые решения есть $x=0,y=\pm 1,x=-1,y=\pm 1, x=3,y=\pm 11$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2006, 23:33 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Уравнение нужно привести к виду $x(y-x^2)(y+x^2)=(y-1)(y+1)$


Я привёл уравнение к такому виду. И что же делать дальше?
Единственно, чем мне помогает эта запись, так это тем , что из неё видно ,что
число стоящее слева, должно делится на 8. Кроме этого - нечего невидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Исправлю

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Удалено автором

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 00:20 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Артамонов Ю.Н. писал(а):
$(x,y)=1$ поэтому $(x-y^2,x+y^2)=1$, кроме того $(y-1,y+1)=1$

Виноват, но y-может быть лишь нечётным, по этому $(y-1,y+1)=2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Если $y\equiv 1\bmod2$, $x\equiv 0\bmod4$, то
$4x_1(y-16x_1^2)(y+16x_1^2)=4\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$, $x=4x_1$
1. $x_1(y-16x_1^2)(y+16x_1^2)=\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$
Если $y\equiv 1\bmod2$, $x\equiv 1\bmod2$, то
2. $x\frac{(y-x^2)}{2}\frac{(y+x^2)}{2}=\frac{y-1}{2}\frac{y+1}{2}$
И это действительно мало что дает. Нужно, чтобы в одной из частей было число - тогда можно пользоваться взаимной простотой.
Поэтому лучше следовать разложению Руста. Оно получено следующим образом:
$y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})=\prod_{k=1}^{2}(x^2-2xcos(2\pi k/5)+1)$ т.е.
$y^2=(x^2-\frac{x(\sqrt{5}-1)}{2}+1)(x^2+\frac{x(\sqrt{5}+1)}{2}+1)$
$4y^2=(2x^2-x(\sqrt{5}-1)+2)(2x^2+x(\sqrt{5}+1)+2)$
$$4y^2=((2x^2+x+2)-x\sqrt{5})((2x^2+x+2)+x\sqrt{5})=(2x^2+x+2)^2-5x^2$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 11:03 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Поэтому лучше следовать разложению Руста. Оно получено следующим образом:
$y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})=\prod_{k=1}^{2}(x^2-2xcos(2\pi k/5)+1)$


Откуда эта формула вообще взялась? То есть почему вдруг $y^2=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})$? Как это связанно с нашим уравнением?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2006, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$\frac{x^5-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{2}(x-e^{\frac{2\pi k i}{5}})(x-e^{-\frac{2\pi k i}{5}})$ - общеизвестная формула разложения на линейные множители многочлена деления круга

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2006, 09:18 


14/02/06
285
Можно домножить обе части исходного уравнения на 4, выделить полный квадрат и расположить $(2y)^{2}$ между квадратами соседних чисел:

$(2y)^2=(2x^2+x)^2+3x^2+4x+4=(2x^2+x+1)^2-x^2+2x+3$,
отсюда
$(2x^2+x)^2<(2y)^2<(2x^2+x+1)^2$ при всех $x$,кроме
-1,0,1,2,3. Целые решения получатся при х=-1, х=0, х=3 - как и у Руста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение27.10.2021, 18:12 


23/01/07
3415
Новосибирск
В натуральных числах...
Преобразуем исходное уравнение:

$(x^2+x)\cdot(x^2+1)=y^2-1   \eqno (1)$

Отсюда видно, что левая часть (1) должна иметь два множителя, отличающиеся на $2$.
Первая скобка больше второй на $(x-1)$, следовательно, одно решение получится из $(x-1)=2$ или $x=3$.
При дальнейшем увеличении $x$ разность между первой и второй скобками будет только расти.

Также необходимо рассмотреть и такую разность между возможными множителями левой части:

$ k\cdot (x^2+1)-\dfrac {(x^2+x)}{k}=\pm 2   \eqno (2)$

где $k$ - собственный делитель числа $(x^2+x)$ (т.к. первая скобка больше второй).

Но легко доказывается, что левая часть (2) при $ x>3; k>1$ больше разности $(x-1)$, а соответственно, больше $2$.
Следовательно, полученное решение - единственное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение27.10.2021, 18:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Какая архивная тема! Оказывается, я ее раньше не видел.
Руст в сообщении #26997 писал(а):
отсюда сразу получаются только две возможности разложения
$2x^2+x+2-2y=\pm 1,2x^2+x+2+2y=\pm 5x^2
или
$2x^2+x+2-2y=\pm 5,2x^2+x+2+2y= \pm x^2
остальные возможности относятся к изменению знака у у.
Ну да, сразу. Это не очевидно и не доказано, так что задача не решена.

-- Ср окт 27, 2021 22:41:21 --

Батороев
На Ваш текст завтра напишу рецензию, сейчас есть срочные дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение27.10.2021, 18:47 


23/01/07
3415
Новосибирск
nnosipov в сообщении #1536568 писал(а):
Оказывается, я ее раньше не видел.

Я тоже. Эту тему нашла ТС соседней темы:
Gepidium в сообщении #1536438 писал(а):
Я нашла это обсуждение здесь на форуме. Вот оно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group