Первый замечательный предел и устранимый разрыв

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1664455 писал(а):

Напишите используемое определение предела.

Присоединяюсь с запросу.

[Ende]

Dan B-Yallay в сообщении #1664551 писал(а):

mihaild в сообщении #1664455 писал(а):

Напишите используемое определение предела.

Присоединяюсь с запросу.

Innokenty Zholobov
Считайте это требованием модератора.

[katzenelenbogen]

Innokenty Zholobov
напишите, пожалуйста, определение понятия "предел" в том смысле, в котором вы его употребляете в первом посте этой темы.

[Dan B-Yallay]

Участник

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Обнаружил изъян в нашей математической стройной теории

поэтому от него ожидается определениe именно из учебника, в котором он нашел ошибку.

Если же он решил придать известному термину какой-то свой особый смысл и вдруг обнаружил в нём нестыковки, то они не имеют отношения к "нашей математической стройной теории".

[Innokenty Zholobov]

Ого сколько требований. Раз надо то пожалуйста

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. (Да я понимаю что она именно приближается и не достигает ее)

Устранимый разрыв функции — это ситуация, когда предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке. Устранимый разрыв можно устранить, то есть сделать функцию непрерывной в этой точке.

Пишу я о том что устраняя разрыв, мы получается определяем функцию в точке разрыва, в той точке в которой происходит деление на ноль. Таким образом получается другая функция, не та что мы исследуем, чаще всего это происходит методом исключения точки, как вот товарищ выше написал про кардинальный синус. Предложение мое заключается в том что, а давайте мы не будем устранять разрыв, а сразу, изначально исследовать ту функцию в которой этого разрыва нет, которые функции я лично (никого не заставляю) называю первичным видом функции, и привел их примеры. Там где не надо находить пределы в принципе. Мое твердое убеждение, заключается в том, что если у нас есть функция, любым образом записанная, в моем примере это $\frac{\sin x}{x}$ в которой переменная как множитель находится и в знаменателе, и в числителе (хоть и зауволированно), мы хотим, в моем примере, исследовать ${\sin x}$ без множителя ${x}$. Так же если необходимо то конечно надо исследовать начальную функцию, но в таком случае не избавляться от разрыва.

Устранение разрыва это исключение. Мы изучаем функцию, потом делаем исключение, и как мы тогда будем изучать функцию если она в какой-то степени исключена? Сюр. Пост мой как раз о том что неплохо бы иметь правило , мнение у меня такое, вместо того чтобы делать каждый раз исключения. Я предложил как могло бы выглядеть это правило, полностью согласен с тем что не лучшим образом сформулировано, опять не заставляю никого принимать его. Есть люди с которыми я общаюсь, не математики, а инженеры которые которые не сомневаются что $\frac{\sin(0)}{0} = 1 $ потому что измеряя сигнал, они не делают исключений в его подаче, однако получают единицу. Вот я и хочу им показать что функция это другая, и каким именно образом она другая.

Я правильно понимаю что после этого вы начнете сомневаться в интеллектуальных способностей моих знакомых? Мы для этого тут собрались? Если криво сформулировал, прошу прощения, но я искренне считаю, что математическая теория могла бы быть лучше.

[katzenelenbogen]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. (Да я понимаю что она именно приближается и не достигает ее)

Это не определение. Не могли бы вы чётко сформулировать, что такое предел, не используя нечёткие и образные выражения наподобие "стремится" и "приближается"? В прямом смысле стремление и приближение - это физические понятия, в вашем случае они используются образно. Как бы вы поступили, чтобы выразить этот смысл чёткими и только числовыми категориями (арифметические операции, больше, меньше, число и т.д.)?

Позвольте повторить вопрос. Приведите чёткое определение слова "предел", не используя образных выражений.

[Mihr]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

(Да я понимаю что она именно приближается и не достигает ее)

Ну, почему же, не обязательно. Иногда достигает. Например, рассматриваемая Вами функция имеет "в бесконечности" предел, равный нулю.

$$\lim_{x\to\ \infty } \frac{\sin(x)}{x}=0$$

И это нулевое значение функция достигает бесконечно много раз.

[manul91]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

Предложение мое заключается в том что, а давайте мы не будем устранять разрыв, а сразу, изначально...

Предложение не принимается.

[EUgeneUS]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. (Да я понимаю что она именно приближается и не достигает ее)

Стремится всей душой, надеюсь?
Вас просили привести определение из учебника, которым Вы пользуетесь. А не отсебятину про сепульки.

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

Есть люди с которыми я общаюсь, не математики, а инженеры которые которые не сомневаются что $\frac{\sin(0)}{0} = 1 $ потому что измеряя сигнал, они не делают исключений в его подаче, однако получают единицу. Вот я и хочу им показать что функция это другая, и каким именно образом она другая.

Я правильно понимаю что после этого вы начнете сомневаться в интеллектуальных способностей моих знакомых?

1. Сомнения в когнитивных способностях возникают, если человеку говорят, а он не понимает.
2. Что касается инженеров, то там как-то принято под $\frac{\sin x}{x}$ понимать $\text{sinc}$. Достаточно посмотреть документацию на осциллографы. С математической точки зрения это не точность, в некоторых случаях - ошибка.
3. Так что оставьте в покое инженеров и не морочьте им голову.

[katzenelenbogen]

EUgeneUS в сообщении #1664593 писал(а):

Innokenty Zholobov в сообщении #1664588 писал(а):

Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. (Да я понимаю что она именно приближается и не достигает ее)

Стремится всей душой, надеюсь?
Вас просили привести определение из учебника, которым Вы пользуетесь. А не отсебятину про сепульки.

Своё определение тоже может быть интересно и правильно.
В любом случае, нужно понять, что человек имеет в виду.

[EUgeneUS]

katzenelenbogen в сообщении #1664594 писал(а):

В любом случае, нужно понять, что человек имеет в виду.

Понять и простить?

[Ende]

katzenelenbogen в сообщении #1664589 писал(а):

Это не определение.

Разделяю эту оценку.

Innokenty Zholobov, приведите математически строгое определение предела, которым Вы пользуетесь. Запишите его формулой.

[Innokenty Zholobov]

Ende в сообщении #1664598 писал(а):

katzenelenbogen в сообщении #1664589 писал(а):

Это не определение.

Разделяю эту оценку.

Innokenty Zholobov, приведите математически строгое определение предела, которым Вы пользуетесь. Запишите его формулой.

$$\lim_{x\to\ x_0 } f(x)= A \Leftrightarrow ((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta=\delta(\varepsilon) > 0) \left (\forall x \ne x_0:|x-x_0|<\delta) \Rightarrow (|f(x) -A|< \varepsilon ))$$

Что-то мало скобок наставил, люблю скобки

[Mihr]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664613 писал(а):

$$\lim_{x\to\ x_0 } f(x)= A \Leftrightarrow ((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta=\delta(\varepsilon) > 0) \left (\forall x \ne x_0:|x-x_0|<\delta) \Rightarrow (|f(x) -A|< \varepsilon ))$$

Значит, если выбрать $x_0=0$, то фрагмент этой формулы $\forall x \ne x_0$ означает $\forall x \ne 0$. И где тут тогда "деление на ноль"?

[EminentVictorians]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664613 писал(а):

$$\lim_{x\to\ x_0 } f(x)= A \Leftrightarrow ((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta=\delta(\varepsilon) > 0) \left (\forall x \ne x_0:|x-x_0|<\delta) \Rightarrow (|f(x) -A|< \varepsilon ))$$

Кстати, строго говоря, это некорректное определение