Первый замечательный предел и устранимый разрыв

[Innokenty Zholobov]

Первый замечательный предел и устранимый разрыв
Обнаружил изъян в нашей математической стройной теории, он не массовый не критичный и на сколько я вижу на него просто не обращают внимание. Но лично для меня он оказался важен поэтому я его раскрою, предложу некоторый выход.
Определю синус как ряд Маклорена, тогда наш замечательный предел — это предел от $\frac{x}{x}$

$$\lim_{x\to\ 0 } \frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to\ 0 } {\frac{(x- \frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ...)}{x}}=\lim_{x\to\ 0 }{(1- \frac{x^2}{3} +\frac{x^4}{5} - \frac{x^6}{7}...)}\lim_{x\to\ 0 } \frac{x}{x}=1\cdot\lim_{x\to\ 0 } \frac{x}{x}$$

Несмотря на то, что деление на ноль неопределённо мы однозначно приравниваем к единице, почему так? Все просто. Деля на ${x}$ функцию, в которой один из множителей $ x $ мы на самом деле пытаемся избавиться от этого икса, и это работает во всех случая кроме нуля, что мешает нам просто вычеркнуть $ x $ и из числителя, и из знаменателя, и тут мы придумали костыль, на котором и продолжаем двигаться – устранимый разрыв. Мы сказали, если предел с обоих сторон неопределенной точки равен одному и тому же мы будем считать эту точку определенной, что абсурдно, неопределенно у нас деление на ноль, никак, нам наша алгебраическая структура не позволяет хоть как-то определить деление на 0, мы противоречим сами себе. Поэтому вот на мой взгляд решение, если мы хотим изучать какую-либо функцию без одного из ее множителей, так давайте так и будем делать, а не записывать его в знаменатель, я называю это приведением к первичному виду, или первичный вид функции

Первичный вид функции $\frac{x}{x}$ это 1

У функции $\frac{(x-5)(x^4-x+6)}{(x-5)}$ первичный вид $(x^4-x+6)$

У $\frac{\sin(x)}{x}$ это $ (1- \frac{x^2}{3} +\frac{x^4}{5} - ...) $

Не это ли мы делаем, когда устраняем устранимый разрыв? При том что надо понимать, что это разные функции, зачастую в одной единственной точке. Либо конкретное значение, либо неопределенность. А люди на мой взгляд часто путают эти две функции, выдавая одну за другую, ошибиться легко

А можно делать и наоборот для удобного преобразования функции можно добавить эту неопределенность как в случае с описанным выше рядом, вместо того чтобы записывать ряд как таковой добавить неопределенность для удобной записи например через знак синуса, не забывая при этом что математически анализируем мы как раз функцию без разрыва и что она в точке (знаменатель)=0 определена

Такая крохотная деталь в мат.анализе ни раз мешала мне, и продолжает мешать. И этот пост мне по большей части нужен для того, чтобы ссылаться на него в дальнейшем, хотя как по мне это просто само по себе интересно. Может я чего-нибудь не знаю, и это как-то уже грамотно изучено и описано?, напишите пожалуйста, потому как есть еще несколько непонятных моментов

[mihaild]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Несмотря на то, что деление на ноль неопределённо мы однозначно приравниваем к единице, почему так?

Потому что никакого деления на ноль не возникает. Напишите используемое определение предела.

[Dedekind]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Несмотря на то, что деление на ноль неопределённо мы однозначно приравниваем к единице, почему так?

Потому что никакого деления на ноль там нет. Вспомните определение предела.

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Мы сказали, если предел с обоих сторон неопределенной точки равен одному и тому же мы будем считать эту точку определенной

Ничего подобного тут

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

$$\lim_{x\to\ 0 } \frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to\ 0 } {\frac{(x- \frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ...)}{x}}=\lim_{x\to\ 0 }{(1- \frac{x^2}{3} +\frac{x^4}{5} - \frac{x^6}{7}...)}\lim_{x\to\ 0 } \frac{x}{x}=1\cdot\lim_{x\to\ 0 } \frac{x}{x}$$

не говорится. Предел в точке и значение в точке - это разные и независимые друг от друга вещи. Про значение функции в точке 0 тут вообще речи не идет.

[Anton_Peplov]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Несмотря на то, что деление на ноль неопределённо мы однозначно приравниваем к единице

Это называется "раскрытие неопределенности вида $\frac{0}{0}$". Студентов учат раскрывать неопределенности.

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

При том что надо понимать, что это разные функции, зачастую в одной единственной точке.

Предел функции в точке $a$ не зависит от значения функции в точке $a$. Если переопределить функцию в точке $a$ (и вообще в конечном числе любых точек), предел не изменится.

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

Обнаружил изъян в нашей математической стройной теории

Тут изъян не в теории, а в Ваших знаниях.

[Innokenty Zholobov]

mihaild в сообщении #1664455 писал(а):

Потому что никакого деления на ноль не возникает. Напишите используемое определение предела.

В пределе не возникает, а в точке устранимого разрыва возникает. Однако мы разрыв устраняем, а значит определяем функцию в точке разрыва, по сути говорим $\frac{\sin(0)}{0} = 1 $

[dgwuqtj]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664479 писал(а):

Однако мы разрыв устраняем, а значит определяем функцию в точке разрыва, по сути говорим $\frac{\sin(0)}{0} = 1 $

Нет, устранение разрыва — это когда мы говорим, что $f \colon \mathbb R \setminus \{0\} \to \mathbb R, x \mapsto \frac {\sin x} x$ можно доопределить, $f(0) = 0$. Но использовать формулу $f(x) = \frac {\sin x} x$ при $x = 0$ уже нельзя.

[mihaild]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664479 писал(а):

В пределе не возникает, а в точке устранимого разрыва возникает

У Вас к чему возражения, к $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$? Они неправильные. Чтобы понять, почему, напишите определение $\lim$.

[drzewo]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664453 писал(а):

И этот пост мне по большей части нужен для того, чтобы ссылаться на него в дальнейшем,

ну, ясно, что этот черт сюда пришел, не затем чтобы чему-то научиться

[EUgeneUS]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664479 писал(а):

Однако мы разрыв устраняем, а значит определяем функцию в точке разрыва, по сути говорим $\frac{\sin(0)}{0} = 1 $

Вообще то, функция $\frac{\sin x}{x}$ с устранённым разрывом называется кардинальный синус и обозначается: $\operatorname{sinc} x$.
А всё потому, что $\frac{\sin x}{x}$ и $\operatorname{sinc} x$ - это разные функции.

[Innokenty Zholobov]

EUgeneUS в сообщении #1664499 писал(а):

Вообще то, функция $\frac{\sin x}{x}$ с устранённым разрывом называется кардинальный синус и обозначается: $\operatorname{sinc} x$.
А всё потому, что $\frac{\sin x}{x}$ и $\operatorname{sinc} x$ - это разные функции.

О, спасибо, не знал, ознакомлюсь этой темой, низкий поклон. Но при беглом ознакомлении чем ненормированный $\operatorname{sinc} x$ отличается от $ (1- \frac{x^2}{3} +\frac{x^4}{5} - \frac{x^6}{7} +\frac{x^8}{9} - ...)$ ? (третий пример первичной функции из моего поста) Выходит я вывел ряд для координатного синуса? Интересно. Костыль я правда в координатном синусе тоже наблюдаю, там как бы есть исключение для одной точки. Мой пост ведь как раз об этом. Логичнее сделать правило. Понимаете, откройте любой сайт для построения графиков (может не любой, но мне последнее время другие не попадались) и задайте ему функцию $\frac{\sin x}{x}$ или $\frac{x}{x}$ и вы не увидите там выколотой точки. Потому что устранимый разрыв. "Делить на ноль мы не можем, но если надо вот пожалуйста"

[dgwuqtj]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664524 писал(а):

Потому что устранимый разрыв.

Потому что программы для рисования графиков глупые и по формуле не могут понять область определения функции.

[Ende]

drzewo
Давайте не будем называть участников чертями и прочими фольклорными персонажами, независимо от... ээээ.... своеобразного понимания топикстартером математики и степени готовности темы к животворному перемещению в пургаторий

[Booker48]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664524 писал(а):

"Делить на ноль мы не можем, но если надо вот пожалуйста"

Вообще-то вам уже несколько раз написали, что к делению на ноль первый замечательный предел отношения не имеет. Напрасно ищете такие примеры, математика прекрасно живёт с этим запретом, а уж в теории пределов неопределённость вида $\frac{0}{0}$ может принимать любое значение.
Проще сразу написать о сокровенном, но поскольку вы отвечаете только на те посты, в которых вам мерещится поддержка, может и не стоит.

[mihaild]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664524 писал(а):

Понимаете, откройте любой сайт для построения графиков (может не любой, но мне последнее время другие не попадались) и задайте ему функцию $\frac{\sin x}{x}$ или $\frac{x}{x}$ и вы не увидите там выколотой точки.

Предъявляйте претензии авторам программ.

Еще раз - Вы определение предела вообще знаете? По тому, как Вы игнорируете этот вопрос, возникает подозрение, что нет.

[Dedekind]

Innokenty Zholobov в сообщении #1664524 писал(а):

откройте любой сайт для построения графиков

Geogebra рисует выколотую точку (если навести курсором).

-- 11.12.2024, 21:34 --

Innokenty Zholobov в сообщении #1664524 писал(а):

Потому что устранимый разрыв. "Делить на ноль мы не можем, но если надо вот пожалуйста"

Доопределение функции в точке устранимого разрыва - это НЕ деление на ноль. Вам уже несколько раз это сказали. Попробуйте последовать рекомендациям отвечающих.