Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[talash]

nnosipov в сообщении #1662857 писал(а):

talash
А Вы попросите его что-нибудь решить из здешнего олимпиадного радела. Скажем, вот последнее: https://dxdy.ru/topic159200.html

Решение от нового ИИ o1. Он должен быть лучше чем предыдущий o1-preview. Как оно?

Цитата:

В треугольник $ ABC $ вписана окружность. Пусть точка $ P $ — точка касания этой окружности со стороной $ AB $. Точка $ Q $ на окружности является диаметрально противоположной точке $ P $ (то есть $ PQ $ — диаметр вписанной окружности). Рассмотрим прямую $ CQ $, которая пересекает сторону $ AB $ в точке $ R $. Докажите, что середина отрезка $ AB $ является также серединой отрезка $ PR $.


**Идея решения:**
Основной подход к доказательству заключается в использовании свойств вписанной окружности и её точек касания, а также в свойствах диаметра вписанной окружности. Диаметр, проходящий через точку касания, обладает особыми свойствами симметрии, позволяя упростить соотношения между отрезками.

**Подробное решение:**
1. **Обозначения и известные факты:**
Рассмотрим треугольник $ ABC $ с вписанной окружностью. Обозначим центр вписанной окружности как $ I $. Пусть окружность касается сторон $ BC $, $ CA $ и $ AB $ в точках $ D $, $ E $ и $ P $ соответственно. По условию, $ P $ — точка касания со стороной $ AB $.

Так как $ Q $ — точка на окружности, диаметрально противоположная $ P $, то отрезок $ PQ $ является диаметром вписанной окружности. Значит, $ I $ — центр окружности — лежит на $ PQ $, причём $ PI = IQ $.

2. **Свойства точек касания и биссектрис углов:**
Известно, что центр вписанной окружности $ I $ является точкой пересечения биссектрис треугольника. Отрезки касания вписанной окружности с вершинами удовлетворяют известным соотношениям. В частности, если мы обозначим $ AP = x $ и $ PB = y $, то известно, что точка касания делит сторону таким образом, что отношение этих отрезков связывается с полу-периметром треугольника. Однако здесь нам важнее симметрия, возникающая благодаря диаметру.

3. **Основной шаг доказательства (использование диаметральной точки):**
Рассмотрим прямую $ CQ $, пересекающую $ AB $ в точке $ R $. Мы хотим показать, что $ R $ выбрана таким образом, что точка середины отрезка $ AB $ совпадёт с серединой отрезка $ PR $.

Ключевым наблюдением является следующее: если мы рассмотрим гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $ C $, которая переводит вписанную окружность в нарисованную вокруг треугольника окружность Эйлера или воспользоваться другими свойствами центральных проекций, можно заметить, что точка $ Q $ как бы «противостоит» точке $ P $ через центр $ I $.

Более геометрически наглядный путь — рассмотреть симметрию относительно прямой, проходящей через $ I $ и перпендикулярной $ AB $. Диаметр $ PQ $ соответствует такой симметрии: точка $ Q $ — отражение точки $ P $ относительно центра $ I $. Когда мы проводим прямую $ CQ $, она пересекает $ AB $ так, что $ R $ оказывается спроецированной точкой, обеспечивающей равенство отрезков.

4. **Доказательство равенства половин отрезков:**
Рассмотрим проекции и подобия. Из-за того, что $ P $ и $ Q $ лежат на диаметре вписанной окружности, векторное или координатное рассуждение может дать следующий результат:
- Обозначим середину $ AB $ как $ M $.
- Наша цель — показать, что $ M $ также является серединой $ PR $, то есть $ PM = MR $.

Для этого можно применить следующую стратегию:
- Переход к аффинным координатам (или использование векторных методов) относительно точки $ C $.
- Принять, например, что $ C $ — начало координат, прямая $ AB $ — ось $ x $. Тогда центр вписанной окружности $ I $ будет иметь определённые координаты, а $ P $ и $ Q $, как точки касания и диаметрально противоположная ей точка, будут иметь координаты с учётом радиуса вписанной окружности.

При таком подходе можно показать, что проекция $ Q $ на $ AB $ симметрична относительно средней точки $ M $. Из этого следует, что при проведении прямой $ CQ $ точка пересечения $ R $ будет такой, что $ M $ лежит также на середине отрезка $ PR $.

Другими словами, симметрия, возникающая за счёт диаметра вписанной окружности, гарантирует, что операция построения $ R $ через $ CQ $ приводит к точному «отражению» длины $ AP $ в равной длине $ PB $ относительно точки $ M $. Соответственно, $ M $ — середина как для $ AB $, так и для $ PR $.

**Вывод:**
Таким образом, мы доказали, что середина отрезка $ AB $ совпадает с серединой отрезка $ PR $.

[Sender]

talash, а попробуйте задать ему задачу по мотивам https://dxdy.ru/topic102739.html
Я задал её DeepSeek для четырёх гостей, и он оконфузился. Правда, потом с подсказкой решил методом тыка.
Формулировка следующая:
Divide a cake with mass equal to 12 into minimal number of pieces such that they can be distributed equally among k guests for any k=1,2,3,4 without further division. Pieces themselves don't have to be equal.

Если для 4 гостей окажется слишком легко, можно сформулировать для 5, а массу торта заменить на 1.

[talash]

Sender в сообщении #1663793 писал(а):

talash, а попробуйте задать ему задачу по мотивам https://dxdy.ru/topic102739.html
Я задал её DeepSeek для четырёх гостей, и он оконфузился. Правда, потом с подсказкой решил методом тыка.
Формулировка следующая:
Divide a cake with mass equal to 12 into minimal number of pieces such that they can be distributed equally among k guests for any k=1,2,3,4 without further division. Pieces themselves don't have to be equal.

Если для 4 гостей окажется слишком легко, можно сформулировать для 5, а массу торта заменить на 1.

o1 писал(а):

Thought about cake division for guests для 1m 25s
Задача:
Разделить торт массой 12 на минимальное число кусков так, чтобы эти куски можно было без дальнейших разрезаний поровну распределить между любым числом гостей k = 1, 2, 3 или 4. Куски не обязательно должны быть равными по массе.

Рассуждения и решение:
Нам нужно разрезать торт массой 12 на некоторое количество кусков. После этого из набора этих кусков мы должны суметь сформировать:

При k=1: одну порцию общей массой 12 (все куски сразу, это легко).
При k=2: две порции по 6 каждая.
При k=3: три порции по 4 каждая.
При k=4: четыре порции по 3 каждая.
Задача сводится к поиску такого набора кусков, из которых можно складывать суммы 3, 4, и 6 (а также 12 целиком, но это тривиально) разными комбинациями без дополнительного разрезания.

Проверим минимально возможное количество кусков:

Если взять слишком мало кусков (например, 4 или 5), не получается гибко формировать необходимые комбинации для 3 и 4 частей.
Например, 4 или 5 кусков, как правило, слишком крупные и не дают нужной вариативности для формирования трёх частей по 4 или четырёх частей по 3.
Оптимальным решением оказывается 6 кусков. Один из примеров разбиения на 6 частей — это:
Вариант 1: 3, 3, 3, 1, 1, 1

k=4 (по 3): (3), (3), (3), (1+1+1)=3
k=3 (по 4): (3+1)=4, (3+1)=4, (3+1)=4
k=2 (по 6): (3+3)=6, (3+1+1+1)=6
k=1 (12): Все вместе дают 12
Вариант 2: 3, 3, 2, 2, 1, 1

k=4 (по 3): (3), (3), (2+1)=3, (2+1)=3
k=3 (по 4): (3+1)=4, (3+1)=4, (2+2)=4
k=2 (по 6): (3+3)=6, (2+2+1+1)=6
k=1 (12): Все вместе 12
Таким образом, минимальное число кусков, позволяющее выполнить все условия задачи — это 6.

Ответ: Минимальное число кусков — 6.

У меня доступ к o1 ограниченный. Думаю зависит от процессорного времени. Тут думал больше минуты, это много, задача нагрузочная для ИИ. Предыдущую за секунду решил.

[Sender]

talash, спасибо!
Ответ правильный, но рассуждения слишком лаконичные. Похоже, этот тоже методом тыка решал.

[talash]

Grock Маска в свободном доступе через X. Из минусов, ответ нельзя скопировать в LaTeX формате. Зато ссылку можно разместить, ему тоже задал трудную задачу:

Ссылка

[talash]

o1 здесь post1663776.html#p1663776 дал слишком запутанное решение, я не понял правильное ли оно.
А Grock Маска похоже не смог. Только сделал вид, что решил, а само доказательство бредовое.

[vicvolf]

talash в сообщении #1664150 писал(а):

Из минусов, ответ нельзя скопировать в LaTeX формате.

Вот что получается после копирования в ChatGPT:
In the context of Assertion 2 of the paper, \( K(n) \) is asymptotically equal to the sum of \( K(i)/i \) from \( i = 2 \) to \( n \), given that \( K(i) \) is of the form \( C i / \ln^k(i) \), where \( C \) is a constant. Specifically, the assertion establishes that:

as \( n \to \infty \), provided \( K(i) = C i / \ln^k(i) \). This result connects the asymptotic behavior of \( K(n) \) with the sum of its terms divided by \( i \), under the assumption that \( K(i) \) follows the specified form related to the logarithmic function.
Надо символы \( заменять на символ доллара?