2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение01.07.2024, 22:05 


20/12/14
148
Даны две концентрические окружности. На одной из них находится одна точка,
на другой -- $N>0$ точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

Доказать, что при любом положении (повороте) точки и/или вершин
(не нарушающем правильность многоугольника),
сумма квадратов расстояний от одиночной точки до других постоянна.

PS. Уверен, что это теорема, но нигде не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 00:09 
Заслуженный участник


20/04/10
1885
Исследуемая сумма квадратов расстояний равна
$n(r^2+R^2)-2rR\sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos(\varphi+\frac{2\pi k}{n})$, здесь $\varphi$ угол между радиус векторами одинокой точки и одной (какой угодно) вершины правильного многоугольника. От $\varphi$ ничего не зависит, так как сумма равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 00:20 


21/04/22
356
Введём комплексную проскость так, чтобы вершины правильного многоугольника располагались в точках $u\xi^k$, $k = 0, 1, \ldots, n - 1$, $\xi = e^{2i\pi/n}$, $|u| = R$. Возьмём точку $a$. Сумма квадратов расстояний от $a$ до точек многоугольника равна

$$\sum_{k = 0}^{n - 1} (a - u\xi^k)(\overline{a} - \overline{u}\xi^{-k}) = n|a|^2 - a\overline{u}\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{-k} - \overline{a}u\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{k} + nR^2 = n(|a|^2 + R^2)$$

Таким образом, сумма квадратов расстояний зависит только от $|a|, R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 03:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Это всё та же идея. Пусть начало отсчёта совпадает с центром окружностей, радиус-вектор точки $\mathbf a$, вершин $\mathbf r_k$.
$\displaystyle{\sum\limits_k (\mathbf a-\mathbf r_k)^2=na^2-2\mathbf a\cdot\underbrace{\sum\limits_k \mathbf r_k}_{=\mathbf 0} +\sum\limits_k (\mathbf r_k)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 06:47 


20/12/14
148
Ага! Получается, что это не обязательно должен быть правильный многоугольник,
а любая конфигурация вершин, для которой $\sum\limits_k \mathbf r_k=0$.
Например, какой-нибудь звездчатый многоугольник.

-- 02.07.2024, 08:29 --

Интересные наблюдения, если продолжить тему.
Рассмотрим сумму самих евклидовых расстояний (при тех же условиях).
Она конечно меняется при движении точки, но чем больше вершин, тем меньше.
Например, при $N=3$ и при радиусах $1$ и $2$
$$ 6.29 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 6.46$$
а при $N=7$
$$ 14.886 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 14.893$$

Как можно оценить эти пределы?
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5499
Нов-ск
denny в сообщении #1644658 писал(а):
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются
Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 10:20 


20/12/14
148
TOTAL в сообщении #1644663 писал(а):
denny в сообщении #1644658 писал(а):
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются
Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.


Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла
$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$
не зависит от $t$ при любых $a,b>0$. Думаю, это связано со свойствами эллиптических интегралов,
хорошо бы доказать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 10:36 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
denny в сообщении #1644674 писал(а):
Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла
$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$
не зависит от $t$ при любых $a,b>0$
$-t$ ведь можно внести под дифференциал, а интергал по полному периоду

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.07.2024, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5499
Нов-ск
denny в сообщении #1644674 писал(а):
не зависит от $t$ при любых $a,b>0$
При любом $t$ косинус пробегает одинаковые значения (из-за периодичности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение29.11.2024, 02:26 
Аватара пользователя


02/03/08
178
Netherlands
В 9-10 классе (~1995г.) мне посчастливилось оказаться в одном классе с Алексеем Петуховым (https://mathbaby.ru/content/nashi-prepodavateli). Идея решения была полностью его, я лишь подметил несколько схожих задач в разных номерах ж. Квант и "попытался" подступиться к общему решению. Впрочем, наш получившейся набросок статьи и тёплые воспоминания я храню до сих пор.
Я не буду приводить выкладки, они получены тем же путём, что привёл mathematician123, приведу только выведенную формулу и некоторые соображения для 3-х мерия.

Задача звучала так:
"Даны две концентрические окружности. На одной из них находится точка $F$,
на другой -- $n \ge 2$ точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

Доказать, что при любом положении (повороте) точки и/или вершин
(не нарушающем правильность многоугольника),
для натурального $k$ < $n$ сумма степеней $2k$ расстояний от точки $F$ до вершин постоянна."

Общая формула для такой суммы $S$ и окружностей радиусов $R$ и $r$:
$S =n(R^2 + r^2)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{m=0\\\text{чет.}}}^k}{\left(\frac{Rr}{R^2 + r^2}\right)^m}{\frac{k!}{(k-m)!\cdot{\left((\frac{m}{2})!\right)^2}}}$
То есть, теорема Пифагора - это конфигурация совпадающих окружностей с $n=2$, $k=1$

Для нечётных степеней $k$ и нечётноугольникa $A_1,A_2,...A_{2n+1}$ такого, что $n \ge k$ справедливо следующее утверждение на тех же концентрических окружностях:
$\pm(A_{1}F)^k \pm(A_{2}F)^k \pm...\pm(A_{2n+1}F)^k = 0$, где знак $\pm$ чередуется.

Для доказательства этих утверждений в пространстве, когда окружности лежат в параллельных плоскостях и линия центров перпендикулярна этим плоскостям (будем называть их 3D-концентрическими), можно использовать кватернионы.
Например, для правильных многогранников получаются утверждения о постоянстве суммы чётных степеней (зависящей от "многогранника") от точки на его описанной сфере до его вершин. Идея доказательства: нарезать описанную сферу плоскостями, первая из которых совпадает с гранью, а последующие содержат вершины многогранника "в вершинах правильных многоугольников". Тогда для любого, параллельного этим плоскостям, сечения сферы получаем 3D-концентрическую окружность с точками, для которых выполняется постоянство суммы. Но теперь мы можем взять любую другую грань и построить такую же 3D-концентрическую окружность с той же степенной суммой. Эти 3D-концентрические окружности будут где-то пересекаться на сфере -- значит все точки сферы будут иметь туже степенную сумму, так как в любую точку сферы мы можем прийти из точки пересечения "параллельными сдвигами", не нарушая постоянства суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение29.11.2024, 17:31 


05/09/16
12092
Dimoniada в сообщении #1663162 писал(а):
Например, для правильных многогранников получаются утверждения о постоянстве суммы чётных степеней (зависящей от "многогранника") от точки на его описанной сфере до его вершин.

Только на описанных? А на концентрических?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)
Сообщение02.12.2024, 05:10 
Аватара пользователя


02/03/08
178
Netherlands
Да, должно выполняться и для концентрических сфер - надо рассмотреть 3D-концентрические окружности на второй сфере (где нет многогранника).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group