Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)

[denny]

Даны две концентрические окружности. На одной из них находится одна точка,
на другой -- $N>0$ точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

Доказать, что при любом положении (повороте) точки и/или вершин
(не нарушающем правильность многоугольника),
сумма квадратов расстояний от одиночной точки до других постоянна.

PS. Уверен, что это теорема, но нигде не нашел.

[lel0lel]

Исследуемая сумма квадратов расстояний равна
$n(r^2+R^2)-2rR\sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos(\varphi+\frac{2\pi k}{n})$, здесь $\varphi$ угол между радиус векторами одинокой точки и одной (какой угодно) вершины правильного многоугольника. От $\varphi$ ничего не зависит, так как сумма равна нулю.

[mathematician123]

Введём комплексную проскость так, чтобы вершины правильного многоугольника располагались в точках $u\xi^k$, $k = 0, 1, \ldots, n - 1$, $\xi = e^{2i\pi/n}$, $|u| = R$. Возьмём точку $a$. Сумма квадратов расстояний от $a$ до точек многоугольника равна

$$\sum_{k = 0}^{n - 1} (a - u\xi^k)(\overline{a} - \overline{u}\xi^{-k}) = n|a|^2 - a\overline{u}\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{-k} - \overline{a}u\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{k} + nR^2 = n(|a|^2 + R^2)$$

Таким образом, сумма квадратов расстояний зависит только от $|a|, R$.

[svv]

Это всё та же идея. Пусть начало отсчёта совпадает с центром окружностей, радиус-вектор точки $\mathbf a$, вершин $\mathbf r_k$.
$\displaystyle{\sum\limits_k (\mathbf a-\mathbf r_k)^2=na^2-2\mathbf a\cdot\underbrace{\sum\limits_k \mathbf r_k}_{=\mathbf 0} +\sum\limits_k (\mathbf r_k)^2}$

[denny]

Ага! Получается, что это не обязательно должен быть правильный многоугольник,
а любая конфигурация вершин, для которой $\sum\limits_k \mathbf r_k=0$.
Например, какой-нибудь звездчатый многоугольник.

-- 02.07.2024, 08:29 --

Интересные наблюдения, если продолжить тему.
Рассмотрим сумму самих евклидовых расстояний (при тех же условиях).
Она конечно меняется при движении точки, но чем больше вершин, тем меньше.
Например, при $N=3$ и при радиусах $1$ и $2$

$$ 6.29 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 6.46$$

а при $N=7$

$$ 14.886 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 14.893$$

Как можно оценить эти пределы?
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

[TOTAL]

denny в сообщении #1644658 писал(а):

Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.

[denny]

TOTAL в сообщении #1644663 писал(а):

denny в сообщении #1644658 писал(а):

Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.

Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла

$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$. Думаю, это связано со свойствами эллиптических интегралов,
хорошо бы доказать...

[waxtep]

denny в сообщении #1644674 писал(а):

Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла

$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$

$-t$ ведь можно внести под дифференциал, а интергал по полному периоду

[TOTAL]

denny в сообщении #1644674 писал(а):

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$

При любом $t$ косинус пробегает одинаковые значения (из-за периодичности)

[Dimoniada]

В 9-10 классе (~1995г.) мне посчастливилось оказаться в одном классе с Алексеем Петуховым (https://mathbaby.ru/content/nashi-prepodavateli). Идея решения была полностью его, я лишь подметил несколько схожих задач в разных номерах ж. Квант и "попытался" подступиться к общему решению. Впрочем, наш получившейся набросок статьи и тёплые воспоминания я храню до сих пор.
Я не буду приводить выкладки, они получены тем же путём, что привёл mathematician123, приведу только выведенную формулу и некоторые соображения для 3-х мерия.

Задача звучала так:
"Даны две концентрические окружности. На одной из них находится точка $F$,
на другой -- $n \ge 2$ точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

Доказать, что при любом положении (повороте) точки и/или вершин
(не нарушающем правильность многоугольника),
для натурального $k$ < $n$ сумма степеней $2k$ расстояний от точки $F$ до вершин постоянна."

Общая формула для такой суммы $S$ и окружностей радиусов $R$ и $r$:
$S =n(R^2 + r^2)\cdot{\displaystyle\sum_{\substack{m=0\\\text{чет.}}}^k}{\left(\frac{Rr}{R^2 + r^2}\right)^m}{\frac{k!}{(k-m)!\cdot{\left((\frac{m}{2})!\right)^2}}}$
То есть, теорема Пифагора - это конфигурация совпадающих окружностей с $n=2$, $k=1$

Для нечётных степеней $k$ и нечётноугольникa $A_1,A_2,...A_{2n+1}$ такого, что $n \ge k$ справедливо следующее утверждение на тех же концентрических окружностях:
$\pm(A_{1}F)^k \pm(A_{2}F)^k \pm...\pm(A_{2n+1}F)^k = 0$, где знак $\pm$ чередуется.

Для доказательства этих утверждений в пространстве, когда окружности лежат в параллельных плоскостях и линия центров перпендикулярна этим плоскостям (будем называть их 3D-концентрическими), можно использовать кватернионы.
Например, для правильных многогранников получаются утверждения о постоянстве суммы чётных степеней (зависящей от "многогранника") от точки на его описанной сфере до его вершин. Идея доказательства: нарезать описанную сферу плоскостями, первая из которых совпадает с гранью, а последующие содержат вершины многогранника "в вершинах правильных многоугольников". Тогда для любого, параллельного этим плоскостям, сечения сферы получаем 3D-концентрическую окружность с точками, для которых выполняется постоянство суммы. Но теперь мы можем взять любую другую грань и построить такую же 3D-концентрическую окружность с той же степенной суммой. Эти 3D-концентрические окружности будут где-то пересекаться на сфере -- значит все точки сферы будут иметь туже степенную сумму, так как в любую точку сферы мы можем прийти из точки пересечения "параллельными сдвигами", не нарушая постоянства суммы.

[wrest]

Dimoniada в сообщении #1663162 писал(а):

Например, для правильных многогранников получаются утверждения о постоянстве суммы чётных степеней (зависящей от "многогранника") от точки на его описанной сфере до его вершин.

Только на описанных? А на концентрических?

[Dimoniada]

Да, должно выполняться и для концентрических сфер - надо рассмотреть 3D-концентрические окружности на второй сфере (где нет многогранника).