Ага! Получается, что это не обязательно должен быть правильный многоугольник,
а любая конфигурация вершин, для которой
![$\sum\limits_k \mathbf r_k=0$ $\sum\limits_k \mathbf r_k=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/a/3fafd63ae11802401385b3c8c722c39982.png)
.
Например, какой-нибудь звездчатый многоугольник.
-- 02.07.2024, 08:29 --Интересные наблюдения, если продолжить тему.
Рассмотрим
сумму самих евклидовых расстояний (при тех же условиях).
Она конечно меняется при движении точки, но чем больше вершин, тем меньше.
Например, при
![$N=3$ $N=3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/a/9aad22a1f10eb2f672ffc52c46eac49882.png)
и при радиусах
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
и
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
![$$ 6.29 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 6.46$$ $$ 6.29 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 6.46$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f14050ef36d6bf6ce311f62bd1320b382.png)
а при
![$N=7$ $N=7$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/4/df4cec4c42b1dc71840c8cb362457b9d82.png)
![$$ 14.886 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 14.893$$ $$ 14.886 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 14.893$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/7/047008dad86f8d48d4f6419517114e4882.png)
Как можно оценить эти пределы?
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
они сужаются