Сумма квадратов расстояний (концентрические окружности)

[denny]

Даны две концентрические окружности. На одной из них находится одна точка,
на другой -- $N>0$ точек, расположенных в вершинах правильного многоугольника.

Доказать, что при любом положении (повороте) точки и/или вершин
(не нарушающем правильность многоугольника),
сумма квадратов расстояний от одиночной точки до других постоянна.

PS. Уверен, что это теорема, но нигде не нашел.

[lel0lel]

Исследуемая сумма квадратов расстояний равна
$n(r^2+R^2)-2rR\sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos(\varphi+\frac{2\pi k}{n})$, здесь $\varphi$ угол между радиус векторами одинокой точки и одной (какой угодно) вершины правильного многоугольника. От $\varphi$ ничего не зависит, так как сумма равна нулю.

[mathematician123]

Введём комплексную проскость так, чтобы вершины правильного многоугольника располагались в точках $u\xi^k$, $k = 0, 1, \ldots, n - 1$, $\xi = e^{2i\pi/n}$, $|u| = R$. Возьмём точку $a$. Сумма квадратов расстояний от $a$ до точек многоугольника равна

$$\sum_{k = 0}^{n - 1} (a - u\xi^k)(\overline{a} - \overline{u}\xi^{-k}) = n|a|^2 - a\overline{u}\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{-k} - \overline{a}u\sum_{k = 0}^{n - 1}\xi^{k} + nR^2 = n(|a|^2 + R^2)$$

Таким образом, сумма квадратов расстояний зависит только от $|a|, R$.

[svv]

Это всё та же идея. Пусть начало отсчёта совпадает с центром окружностей, радиус-вектор точки $\mathbf a$, вершин $\mathbf r_k$.
$\displaystyle{\sum\limits_k (\mathbf a-\mathbf r_k)^2=na^2-2\mathbf a\cdot\underbrace{\sum\limits_k \mathbf r_k}_{=\mathbf 0} +\sum\limits_k (\mathbf r_k)^2}$

[denny]

Ага! Получается, что это не обязательно должен быть правильный многоугольник,
а любая конфигурация вершин, для которой $\sum\limits_k \mathbf r_k=0$.
Например, какой-нибудь звездчатый многоугольник.

-- 02.07.2024, 08:29 --

Интересные наблюдения, если продолжить тему.
Рассмотрим сумму самих евклидовых расстояний (при тех же условиях).
Она конечно меняется при движении точки, но чем больше вершин, тем меньше.
Например, при $N=3$ и при радиусах $1$ и $2$

$$ 6.29 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 6.46$$

а при $N=7$

$$ 14.886 \lesssim \sum\limits_k \left\lvert\mathbf a-\mathbf r_k\right\rvert \lesssim 14.893$$

Как можно оценить эти пределы?
Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

[TOTAL]

denny в сообщении #1644658 писал(а):

Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.

[denny]

TOTAL в сообщении #1644663 писал(а):

denny в сообщении #1644658 писал(а):

Я пробовал и через векторные неравенства, и через тригонометрические,
но не получается показать, что с ростом $N$ они сужаются

Попробуйте сумму считать приближенным значением интеграла.

Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла

$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$. Думаю, это связано со свойствами эллиптических интегралов,
хорошо бы доказать...

[waxtep]

denny в сообщении #1644674 писал(а):

Еще интереснее. Численно получается, что значение интеграла

$$\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2-2 a b \cos(t-\phi)} d\phi$$

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$

$-t$ ведь можно внести под дифференциал, а интергал по полному периоду

[TOTAL]

denny в сообщении #1644674 писал(а):

не зависит от $t$ при любых $a,b>0$

При любом $t$ косинус пробегает одинаковые значения (из-за периодичности)