Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[Padawan]

drzewo
Что за версия GPT? Слишком тупая.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1663053 писал(а):

drzewo
Что за версия GPT? Слишком тупая.

https://chatgpt.org/

[mihaild]

drzewo в сообщении #1663068 писал(а):

https://chatgpt.org/

Это 3.5. Она заведомо сильно хуже всего актуального.

[drzewo]

Я в этом не разбираюсь. Засуньте мой вопрос в актуальную версию посмотрим что будет.

[talash]

drzewo в сообщении #1663027 писал(а):

Цитата:

Пусть T - фигура, состоящая из двух пересекающихся отрезков на плоскости. Отображение f - непрерывно и переводит фигуру T в себя.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

o1-preview писал(а):

Чтобы доказать, что непрерывное отображение $\( f \colon T \to T \)$ имеет неподвижную точку, воспользуемся **теоремой Лефшеца о неподвижной точке**.

**Описание фигуры $\( T \)$:**

Фигура $\( T \)$ представляет собой два пересекающихся отрезка на плоскости, образующих форму, похожую на букву "X" или крест. Это компактное, связное и стягиваемое подмножество плоскости $\( \mathbb{R}^2 \)$. Стягиваемость означает, что $\( T \)$ можно непрерывно сузить до точки внутри $\( T \)$.

**Гомологии фигуры $\( T \)$:**

- $\( H_0(T) \cong \mathbb{Z} \)$, так как $\( T \)$ связно.
- $\( H_1(T) = 0 \)$, потому что $\( T \)$ стягиваемо и не содержит циклов или "дыр".

**Вычисление числа Лефшеца:**

Число Лефшеца $\( \Lambda(f) \)$ определяется как:

$\Lambda(f) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \operatorname{Tr}(f_* | H_i(T)),$

где $\( f_* \)$ — индуцированное отображение на группах гомологий, а $\( \operatorname{Tr} \)$ обозначает след оператора.

- Для $\( H_0(T) \)$ индуцированное отображение $\( f_* \)$ действует на $\( \mathbb{Z} \)$ как тождественное, поэтому $\( \operatorname{Tr}(f_* | H_0(T)) = 1 \)$.
- Для $\( H_1(T) = 0 \)$ индуцированное отображение $\( f_* \)$ тривиально, и его след равен 0.

Следовательно:

$\Lambda(f) = (-1)^0 \cdot \operatorname{Tr}(f_* | H_0(T)) + (-1)^1 \cdot \operatorname{Tr}(f_* | H_1(T)) = 1 + 0 = 1.$

**Применение теоремы Лефшеца о неподвижной точке:**

Теорема Лефшеца гласит, что если $\( \Lambda(f) \neq 0 \)$, то отображение $\( f \)$ имеет по крайней мере одну неподвижную точку в $\( T \)$.

Поскольку $\( \Lambda(f) = 1 \neq 0 \)$, отсюда следует, что $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.

**Заключение:**

Таким образом, используя теорему Лефшеца и вычислив число Лефшеца, мы доказали, что любое непрерывное отображение $\( f \colon T \to T \)$ имеет неподвижную точку.

**Ответ:** 

**Поскольку число Лефшеца равно 1, по теореме Лефшеца отображение $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.**

[drzewo]

спасибо

[Padawan]

talash в сообщении #1663074 писал(а):

**Поскольку число Лефшеца равно 1, по теореме Лефшеца отображение $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.**

Ну и сказал бы, что это справедливо для всех стягиваемых компактных симплициальных комплексов.

[drzewo]

talash
Что-то я не разыскал эту программу в интернете. Проверьте, пожалуйста, еще одну задачу.

Отображение f переводит замкнутый шар гильбертова пространства в себя и является нерастягивающим.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

Нерастягивающее отображение это $\|f(x)-f(y)\|\le \|x-y\|$. Можно такое ему скормить?

[talash]

drzewo в сообщении #1663143 писал(а):

talash
Что-то я не разыскал эту программу в интернете. Проверьте, пожалуйста, еще одну задачу.

Отображение f переводит замкнутый шар гильбертова пространства в себя и является нерастягивающим.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

Нерастягивающее отображение это $\|f(x)-f(y)\|\le \|x-y\|$. Можно такое ему скормить?

o1-preview писал(а):

**Доказательство:**

Пусть $ H $ — гильбертово пространство, а $ B $ — замкнутый шар в $ H $ с центром в точке $ x_0 $ и радиусом $ R $, то есть

$$ B = \{ x \in H \mid \|x - x_0\| \leq R \}. $$

Отображение $ f: B \rightarrow B $ является нерастягивающим, то есть для любых $ x, y \in B $ выполняется

$$ \|f(x) - f(y)\| \leq \|x - y\|. $$

Замкнутый шар $ B $ является замкнутым, выпуклым и ограниченным подмножеством гильбертова пространства. Согласно **теореме Браудера–Гёде–Кирка**, любое нерастягивающее отображение замкнутого выпуклого ограниченного подмножества гильбертова пространства в себя имеет неподвижную точку.

**Следовательно**, существует точка $ x^* \in B $ такая, что

$$ f(x^*) = x^*. $$

**Заключение:**

Отображение $ f $ имеет неподвижную точку в замкнутом шаре $ B $.

[drzewo]

(Оффтоп)

talash в сообщении #1663154 писал(а):

**теореме Браудера–Гёде–Кирка**

Эрудированный:) В принципе, утверждение верно не только для гильбертовых, но и для равномерно выпуклых банаховых пространств -- это менее известный факт, ну да ладно.. Вообщем, я примерно понял, стандартные ходы он действительно делать умеет. Спасибо.

[Anton_Peplov]

talash
Любопытно, что выдаст о1, если в тех же условиях попросить его доказать, что отображение НЕ имеет неподвижной точки?

Кстати, ссылкой на сайт не поделитесь?