Проверка способности ChatGPT решать математические задачи

[Padawan]

drzewo
Что за версия GPT? Слишком тупая.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1663053 писал(а):

drzewo
Что за версия GPT? Слишком тупая.

https://chatgpt.org/

[mihaild]

drzewo в сообщении #1663068 писал(а):

https://chatgpt.org/

Это 3.5. Она заведомо сильно хуже всего актуального.

[drzewo]

Я в этом не разбираюсь. Засуньте мой вопрос в актуальную версию посмотрим что будет.

[talash]

drzewo в сообщении #1663027 писал(а):

Цитата:

Пусть T - фигура, состоящая из двух пересекающихся отрезков на плоскости. Отображение f - непрерывно и переводит фигуру T в себя.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

o1-preview писал(а):

Чтобы доказать, что непрерывное отображение $\( f \colon T \to T \)$ имеет неподвижную точку, воспользуемся **теоремой Лефшеца о неподвижной точке**.

**Описание фигуры $\( T \)$:**

Фигура $\( T \)$ представляет собой два пересекающихся отрезка на плоскости, образующих форму, похожую на букву "X" или крест. Это компактное, связное и стягиваемое подмножество плоскости $\( \mathbb{R}^2 \)$. Стягиваемость означает, что $\( T \)$ можно непрерывно сузить до точки внутри $\( T \)$.

**Гомологии фигуры $\( T \)$:**

- $\( H_0(T) \cong \mathbb{Z} \)$, так как $\( T \)$ связно.
- $\( H_1(T) = 0 \)$, потому что $\( T \)$ стягиваемо и не содержит циклов или "дыр".

**Вычисление числа Лефшеца:**

Число Лефшеца $\( \Lambda(f) \)$ определяется как:

$\Lambda(f) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \operatorname{Tr}(f_* | H_i(T)),$

где $\( f_* \)$ — индуцированное отображение на группах гомологий, а $\( \operatorname{Tr} \)$ обозначает след оператора.

- Для $\( H_0(T) \)$ индуцированное отображение $\( f_* \)$ действует на $\( \mathbb{Z} \)$ как тождественное, поэтому $\( \operatorname{Tr}(f_* | H_0(T)) = 1 \)$.
- Для $\( H_1(T) = 0 \)$ индуцированное отображение $\( f_* \)$ тривиально, и его след равен 0.

Следовательно:

$\Lambda(f) = (-1)^0 \cdot \operatorname{Tr}(f_* | H_0(T)) + (-1)^1 \cdot \operatorname{Tr}(f_* | H_1(T)) = 1 + 0 = 1.$

**Применение теоремы Лефшеца о неподвижной точке:**

Теорема Лефшеца гласит, что если $\( \Lambda(f) \neq 0 \)$, то отображение $\( f \)$ имеет по крайней мере одну неподвижную точку в $\( T \)$.

Поскольку $\( \Lambda(f) = 1 \neq 0 \)$, отсюда следует, что $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.

**Заключение:**

Таким образом, используя теорему Лефшеца и вычислив число Лефшеца, мы доказали, что любое непрерывное отображение $\( f \colon T \to T \)$ имеет неподвижную точку.

**Ответ:** 

**Поскольку число Лефшеца равно 1, по теореме Лефшеца отображение $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.**

[drzewo]

спасибо

[Padawan]

talash в сообщении #1663074 писал(а):

**Поскольку число Лефшеца равно 1, по теореме Лефшеца отображение $\( f \)$ имеет неподвижную точку в $\( T \)$.**

Ну и сказал бы, что это справедливо для всех стягиваемых компактных симплициальных комплексов.

[drzewo]

talash
Что-то я не разыскал эту программу в интернете. Проверьте, пожалуйста, еще одну задачу.

Отображение f переводит замкнутый шар гильбертова пространства в себя и является нерастягивающим.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

Нерастягивающее отображение это $\|f(x)-f(y)\|\le \|x-y\|$. Можно такое ему скормить?

[talash]

drzewo в сообщении #1663143 писал(а):

talash
Что-то я не разыскал эту программу в интернете. Проверьте, пожалуйста, еще одну задачу.

Отображение f переводит замкнутый шар гильбертова пространства в себя и является нерастягивающим.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

Нерастягивающее отображение это $\|f(x)-f(y)\|\le \|x-y\|$. Можно такое ему скормить?

o1-preview писал(а):

**Доказательство:**

Пусть $ H $ — гильбертово пространство, а $ B $ — замкнутый шар в $ H $ с центром в точке $ x_0 $ и радиусом $ R $, то есть

$$ B = \{ x \in H \mid \|x - x_0\| \leq R \}. $$

Отображение $ f: B \rightarrow B $ является нерастягивающим, то есть для любых $ x, y \in B $ выполняется

$$ \|f(x) - f(y)\| \leq \|x - y\|. $$

Замкнутый шар $ B $ является замкнутым, выпуклым и ограниченным подмножеством гильбертова пространства. Согласно **теореме Браудера–Гёде–Кирка**, любое нерастягивающее отображение замкнутого выпуклого ограниченного подмножества гильбертова пространства в себя имеет неподвижную точку.

**Следовательно**, существует точка $ x^* \in B $ такая, что

$$ f(x^*) = x^*. $$

**Заключение:**

Отображение $ f $ имеет неподвижную точку в замкнутом шаре $ B $.

[drzewo]

(Оффтоп)

talash в сообщении #1663154 писал(а):

**теореме Браудера–Гёде–Кирка**

Эрудированный:) В принципе, утверждение верно не только для гильбертовых, но и для равномерно выпуклых банаховых пространств -- это менее известный факт, ну да ладно.. Вообщем, я примерно понял, стандартные ходы он действительно делать умеет. Спасибо.

[Anton_Peplov]

talash
Любопытно, что выдаст о1, если в тех же условиях попросить его доказать, что отображение НЕ имеет неподвижной точки?

Кстати, ссылкой на сайт не поделитесь?

[talash]

Anton_Peplov в сообщении #1663159 писал(а):

talash
Любопытно, что выдаст о1, если в тех же условиях попросить его доказать, что отображение НЕ имеет неподвижной точки?

Кстати, ссылкой на сайт не поделитесь?

У меня от фирмы, где работаю, платная подписка на chatgpt.com. Стоит оно около 20$ в месяц. Для доступа на сайт может понадобиться VPN.

o1-preview писал(а):

**Дано:**

Отображение $ f $ переводит замкнутый шар $ B $ гильбертова пространства $ H $ в себя и является нерастягивающим, то есть для всех $ x, y \in H $:

$$ \|f(x) - f(y)\| \leq \|x - y\|. $$

Требуется доказать, что $ f $ не имеет неподвижной точки, то есть не существует $ x \in B $, такого что $ f(x) = x $.

**Доказательство:**

В бесконечномерном гильбертовом пространстве замкнутый шар не является компактным множеством. Это означает, что стандартные теоремы о неподвижных точках, такие как теорема Брауэра или теорема Шаудера, не применимы.

Чтобы доказать, что $ f $ не имеет неподвижной точки, можно привести контрпример или показать, что при заданных условиях наличие неподвижной точки противоречит свойствам отображения.

**Построение контрпримера:**

Рассмотрим гильбертово пространство $ H $ последовательностей $ \ell^2 $, то есть всех последовательностей $ x = (x_1, x_2, x_3, \dots) $, таких что

$$ \|x\| = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 \right)^{1/2} < \infty. $$

Определим отображение $ f: \ell^2 \rightarrow \ell^2 $ следующим образом:

$$ f(x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, x_3, \dots). $$

То есть, $ f $ сдвигает каждую компоненту последовательности на одну позицию вправо, добавляя нуль на первую позицию.

**Проверим свойства отображения $ f $:**

1. **Нерастягивающее отображение:**

Для любых $ x, y \in \ell^2 $:

$$ \|f(x) - f(y)\| = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_{n-1} - y_{n-1}|^2 \right)^{1/2} = \left( \sum_{n=2}^\infty |x_{n-1} - y_{n-1}|^2 \right)^{1/2} \leq \|x - y\|. $$

Это следует из того, что первая компонента в $ f(x) $ всегда нуль, и разность начинается со второй компоненты.

2. **$ f $ переводит замкнутый шар в себя:**

Рассмотрим замкнутый шар радиуса $ r $ с центром в нуле:

$$ B = \{ x \in \ell^2 : \|x\| \leq r \}. $$

Для любого $ x \in B $:

$$ \|f(x)\| = \left( \sum_{n=1}^\infty |x_{n-1}|^2 \right)^{1/2} = \left( \sum_{n=2}^\infty |x_{n-1}|^2 \right)^{1/2} \leq \|x\| \leq r. $$

Следовательно, $ f(x) \in B $.

3. **Отсутствие неподвижных точек:**

Предположим, что существует $ x \in B $, такое что $ f(x) = x $. Тогда:

$$ (0, x_1, x_2, \dots) = (x_1, x_2, x_3, \dots). $$

Отсюда следует, что $ x_1 = 0 $, $ x_2 = x_1 = 0 $, $ x_3 = x_2 = 0 $, и так далее. Таким образом, $ x = (0, 0, 0, \dots) $.

Но $ f(0) = (0, 0, 0, \dots) = 0 $, то есть нуль является неподвижной точкой. Однако в данном случае $ f $ имеет неподвижную точку, что противоречит условию задачи.

**Исправление построения:**

Чтобы получить отображение без неподвижных точек, модифицируем $ f $:

$$ f(x_1, x_2, x_3, \dots) = \left( \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{2}, \frac{x_4}{2}, \dots \right). $$

Теперь проверим свойства:

1. **Нерастягивающее отображение:**

$$ \|f(x) - f(y)\| = \left( \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{x_{n+1} - y_{n+1}}{2} \right|^2 \right)^{1/2} = \frac{1}{2} \|x' - y'\| \leq \frac{1}{2} \|x - y\|, $$

где $ x' $ — сдвиг $ x $ на одну позицию влево. Таким образом, $ f $ даже сжимает пространство.

2. **$ f $ переводит шар в себя:**

$$ \|f(x)\| = \frac{1}{2} \|x'\| \leq \frac{1}{2} \|x\| \leq \frac{r}{2} \leq r, $$

если $ r \geq 0 $.

3. **Отсутствие неподвижных точек:**

Предположим, что $ f(x) = x $. Тогда:

$$ \left( \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{2}, \frac{x_4}{2}, \dots \right) = (x_1, x_2, x_3, \dots). $$

Отсюда следует система:

$$ x_1 = \frac{x_2}{2}, \\ x_2 = \frac{x_3}{2}, \\ x_3 = \frac{x_4}{2}, \\ \vdots $$

Продолжая в этом духе, мы получаем, что все компоненты $ x_n $ равны нулю. Следовательно, $ x = 0 $.

Но $ f(0) = (0, 0, 0, \dots) = 0 $, то есть опять имеем неподвижную точку в нуле.

**Вывод:**

Из приведенных попыток видно, что в гильбертовом пространстве с нерастягивающим отображением, переводящим замкнутый шар в себя, невозможно гарантировать отсутствие неподвижной точки без дополнительных условий.

**Заключение:**

Утверждение задачи требует уточнения, поскольку в текущей формулировке оно противоречит известным свойствам нерастягивающих отображений в гильбертовых пространствах. Без дополнительных ограничений или условий невозможно доказать, что такое отображение не имеет неподвижной точки.

-- 29.11.2024, 09:17 --

Anton_Peplov, на самый мощный o1-preview есть ограничения, если буду много его терзать, сделают перерыв к доступу. Я в основном пользуюсь 4o, потому что он умеет распознавать картинки и делать поиск в интернете. А o1-preview работает только с текстом и имеет только ту информацию, на которой обучен.

[Anton_Peplov]

Цитата:

Утверждение задачи требует уточнения, поскольку в текущей формулировке оно противоречит известным свойствам нерастягивающих отображений в гильбертовых пространствах. Без дополнительных ограничений или условий невозможно доказать, что такое отображение не имеет неподвижной точки.

Действительно, умненькая машинка. GPT3.5 по запросу "доказывает" любую чепуху.

Anton_Peplov писал(а):

Докажи, что компактное множество в метрическом пространстве не ограничено.

GPT3.5 писал(а):

Для начала определим, что такое компактное множество. Множество называется компактным, если из любой последовательности в нем можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Предположим, что компактное множество (K) в метрическом пространстве (X) ограничено. Это означает, что для любых двух точек (x, y \in K) расстояние (d(x, y)) между ними ограничено.

Рассмотрим последовательность точек (x_n \in K) такую, что расстояние между любыми двумя точками (x_n, x_m) больше чем некоторая постоянная (C). В таком случае, последовательность точек (x_n) не содержит сходящейся подпоследовательности, так как расстояние между любыми двумя точками остается постоянным.

Таким образом, мы получаем противоречие с определением компактного множества, что значит, что компактное множество в метрическом пространстве не ограничено.

[talash]

Anton_Peplov, вот мощные бесплатные:
Llama обученная Nvidia https://build.nvidia.com/nvidia/llama-3 ... b-instruct китайский ИИ https://chat.deepseek.com/

-- 29.11.2024, 12:28 --

Протестировал llama на предыдущей задаче. Доказала невозможное. Вычёркиваю её из мощных ИИ. К тому же LaTeX не поддерживает.

-- 29.11.2024, 12:32 --

А вот китаец справился. Только не забывать включать Deep Think. С этой галкой он думает и печатает мысли. А без неё он как gpt3.5 решает.

deepseek писал(а):

**Ответ:**

Доказать, что нерастягивающее отображение $ f $, которое переводит замкнутый шар $ B $ в себя в бесконечномерном гильбертовом пространстве $ H $, не имеет неподвижных точек, невозможно. На основе рассмотренных примеров и анализа свойств таких отображений можно сделать следующие выводы:

1. **Нерастягивающие отображения:** Отображения, которые не увеличивают расстояния между точками, могут иметь неподвижные точки. Например, тождественное отображение является нерастягивающим и имеет все точки как неподвижные.

2. **Примеры в $ \ell^2 $-пространстве:**
- Отображение сдвига $ f(x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, x_3, \dots) $ является нерастягивающим и имеет неподвижную точку в нулевом векторе.
- Отображение сжатия $ f(x_1, x_2, x_3, \dots) = \left( \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{2}, \frac{x_4}{2}, \dots \right) $ также является нерастягивающим и имеет неподвижную точку в нулевом векторе.

3. **Невозможность построения отображения без неподвижных точек:**
- Попытки построить нерастягивающее отображение без неподвижных точек приводят либо к наличию неподвижной точки (например, нулевого вектора), либо к нарушению условия отображения шара в себя.

**Заключение:**

Утверждение задачи об отсутствии неподвижных точек для нерастягивающих отображений в замкнутом шаре бесконечномерного гильбертова пространства неверно. В таких пространствах существуют нерастягивающие отображения, имеющие неподвижные точки.

-- 29.11.2024, 12:45 --

Китаец часто на английском отвечает, несмотря что вопрос был на русском, нужно потом просить перевести. Правда и o1-preview этим грешит в последнее время.

[Klein]

drzewo в сообщении #1663143 писал(а):

talash
Что-то я не разыскал эту программу в интернете. Проверьте, пожалуйста, еще одну задачу.

Отображение f переводит замкнутый шар гильбертова пространства в себя и является нерастягивающим.
Доказать, что f имеет неподвижную точку.

Нерастягивающее отображение это $\|f(x)-f(y)\|\le \|x-y\|$. Можно такое ему скормить?

Платный ChatGPT 4o выдал следующее решение : https://easyupload.io/w0avjw