Закон исключённого третьего

[Skipper]

Вот пожалуйста. topic150949-15.html Моё сообщение из темы, когда я считал по-другому-

Я:

Цитата:

Но существует некая, "абсолютная истина"

Один из ответов (EminentVictorians )

Цитата:

Не для всех. Для тех, кто живет в рамках формальных теорий есть третий вариант "недоказуемо средствами данной формальной теории".

Ещё ответ (mihaild)

Цитата:

Кто сказал?
Я еще могу смириться с тем, что существует "абсолютная истина" для $\Sigma_1$-формул (можно ли вот прям взять и на бумажке написать нужное число). Что "на самом деле" что-то там верно про бесконечные последовательности - мне совсем не очевидно.

Выходит, раньше сами участники мне писали, что может не быть "абсолютной истины", а сейчас пишут, что обязательно она должна быть? Или $true $или $false$, после того как я предложил 3-й вариант $undefinable$.

Почему я должен быть уверен, что обязательно появится, какая то понятная, и принимаемая всеми интуитивная аксиома, после которой в таком случае, мы установим "абсолютную истинность" ?
Её может не быть никогда?

-- Вс ноя 17, 2024 21:47:18 --

mihaild в сообщении #1661759 писал(а):

нужно запретить говорить об истинности утверждений вообще, и разрешить говорить только об истинности в моделях.

Ну значит, если не будет интуитивно понятной модели, в котором некое утверждение как новая аксиома будет принята, (и из которой последует такое доказательство), утверждение $A$ никогда не примет значение $true $ или $false$, а останется навсегда $indefinable$,
то есть непознаваемым для человечества никогда в будущем.

Это и есть третий вариант, про который я пишу.
Верно?

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661760 писал(а):

Выходит, раньше сами участники мне писали, что может не быть "абсолютной истины", а сейчас пишут, что обязательно она должна быть?

Я не писал. И с EminentVictorians я не согласен.

Skipper в сообщении #1661760 писал(а):

Почему я должен быть уверен, что обязательно появится, какая то понятная, и принимаемая всеми интуитивная аксиома, после которой в таком случае, мы установим "абсолютную истинность" ?

А кто говорит, что должны?

Skipper в сообщении #1661760 писал(а):

Ну значит, если не будет интуитивно понятной модели, в котором некое утверждение как новая аксиома будет принята, (и из которой последует такое доказательство), утверждение $A$ никогда не примет значение $true $ или $false$

В логике нет понятия "интуитивно понятная модель".
Есть просто модели. Их может быть много. В некоторых утверждение истинно, в некоторых ложно.

Вообще я не понимаю, почему многие считают этот вопрос про неполноту таким важным. Вот есть теория группы (одной; сигнатура $(\cdot, =)$, аксиомы все знают). Коммутативность от этой теории не зависит. Что выражается в том, что бывают коммутативные группы, а бывают некоммутативные. И это никого не смущает.
А что бывают разные модели арифметики или теории множеств - почему-то смущает. Чем гипотеза Римана в теории множеств так принципиально отличается от коммутативности в теории группы?

[Skipper]

Цитата:

А что бывают разные модели арифметики или теории множеств - почему-то смущает.

В моделях арифметики, доказываются многие суждения про натуральные числа. Они кажутся первоосновой, интуитивно понятной человеку на самом фундаментальном уровне. Потому и возникают вопросы про абсолютную истину, или абсолютную ложность, или абсолютную недоказуемость.

А если кто-то построит такую "модель арифметики", в которой он "докажет" что например простых чисел, $2,3,5,7,11$ и т.д. лишь конечное количество, то грош цена такой модели, её никто не примет.
Или кто-то примет? Это же очевидно, что ерунда какая то.
Должны быть на этом уровне истинные модели, понятные.

А про всякие сложные модели потому и не говорят. Нафантазировать можно чего угодно.

-- Вс ноя 17, 2024 22:28:55 --

mihaild в сообщении #1661762 писал(а):

Чем гипотеза Римана в теории множеств так принципиально отличается от коммутативности в теории группы?

А что, может так быть к примеру, что истинность или ложность гипотезы Римана, зависит, включили мы аксиому выбора или нет? Или например континуум-гипотезу?
Но из гипотезы Римана следует распределение простых чисел (остаточный член и т.п.), интуитивно понятных человеку на самом фундаментальном уровне, очевидных.
Потому не верится, что такая гипотеза, может зависеть от каких то спорных и неочевидных аксиом, как например аксиома выбора.

[EminentVictorians]

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

В моделях арифметики, доказываются многие суждения про натуральные числа.

Тут как-то совсем нестрого сказано. Модель арифметики - это тупо множество. Во множестве ничего не доказывается. Доказывать что-то можно в теории (например, арифметике Пеано первого порядка).

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

А если кто-то построит такую "модель арифметики", в которой он "докажет" что например простых чисел, $2,3,5,7,11$ и т.д. лишь конечное количество, то грош цена такой модели

Такого не будет. Бесконечность простых чисел выводится из аксиом Пеано, а значит это утверждение будет истинно во всех моделях этой теории. (это следствие теоремы Геделя о полноте)

-- 17.11.2024, 23:58 --

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

Должны быть на этом уровне истинные модели, понятные.

Модели не бывают истинными или ложными. Истинными или ложными бывают формулы, причем эта истинность зависит не только от самой формулы, но еще и от, во-первых, самой модели, а во-вторых - от значений параметров этой формулы (параметры - это переменные, имеющие свободные вхождения в этой формуле).

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

Потому и возникают вопросы про абсолютную истину, или абсолютную ложность, или абсолютную недоказуемость.

В классической логике значений истинности только две: истина и ложь. А доказуемость или недоказуемость - это уже другой вопрос. Судя по Вашим вопросам, Вам близка позиция конструктивизма/интуиционизма. Позиция эта, может, и имеет основания, но проблема тут в том, что этот отказ от закона исключённого третьего сильно усложняет и запутывает всю математику, а преимуществ по сравнению с классическим подходом не даёт практически никаких.

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

А если кто-то построит такую "модель арифметики", в которой он "докажет" что например простых чисел, $2,3,5,7,11$ и т.д. лишь конечное количество

Не построит. Такой модели не существует.

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

А что, может так быть к примеру, что истинность или ложность гипотезы Римана, зависит, включили мы аксиому выбора или нет? Или например континуум-гипотезу?

Нет, не может. Отказавшись от одной из аксиом, мы максимум сделаем какие-то теоремы недоказуемыми. Но такого, что без аксиомы выбора доказывается какая-нибудь теорема, а с аксиомой выбора доказывается её отрицание - такого не бывает (если, конечно, используемая система аксиом непротиворечива).

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

может зависеть от каких то спорных и неочевидных аксиом, как например аксиома выбора

Аксиома выбора как раз очень очевидная - настолько очевидная, что математики долго не замечали, что вообще её используют в своих рассуждениях. Если математическое рассуждение написано на человеческом языке, бывает сложно сходу определить, используется в нём аксиома выбора или нет - настолько её использование привычно и незаметно.

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

Но из гипотезы Римана следует распределение простых чисел, остаточный член и т.п., интуитивно понятных человеку на самом фундаментальном уровне, очевидных.

Кажется, что это так, но некоторое место для сомнений здесь остаётся. Понятно, что если речь идёт о простых числах, не превышающих миллиона, или не превышающих $10^{100}$, или не превышающих $10^{10^{100}}$, или не превышающих $10^{10^{{\ldots}^{10}}}$ (башня из $10^{10^{100}}$ десяток) - то скорее всего можно говорить об "абсолютной истине". Потому что в теории некое высшее существо могло бы проверить все такие числа одно за другим и установить справедливость интересующего утверждения. Но все числа, до которых мы можем таким способом "дотянуться" - в т.ч. такие вот башни из десяток - стоят лишь в самом начале натурального ряда, а само множество натуральных чисел бесконечно. Грубо говоря, большинство натуральных чисел для нас недосягаемы - и "абсолютная истинность" каких-то фактов о них уже не столь очевидна. Вполне может быть так, что с точки зрения одной модели какое-то число вполне себе конечное (хотя и настолько большое, что мы не можем его записать за всю жизнь с помощью любых наших формул, и не можем оценить время, за которое смогли бы это сделать), а с точки зрения другой модели такого числа просто нет.

[Skipper]

Цитата:

Вполне может быть так, что с точки зрения одной модели какое-то число вполне себе конечное (хотя и настолько большое, что мы не можем его записать за всю жизнь с помощью любых наших формул, и не можем оценить время, за которое смогли бы это сделать), а с точки зрения другой модели такого числа просто нет

Вот аналогично, и моё утверждение о том, что может не существовать доказательства о том, бесконечное ли количество простых чисел-близнецов, т.к. до всех мы "дотянуться" не можем,

Mikhail_K в сообщении #1661765 писал(а):

Но такого, что без аксиомы выбора доказывается какая-нибудь теорема, а с аксиомой выбора доказывается её отрицание - такого не бывает

Я имел в виду, что может быть такое что,
1) без аксиомы выбора некоторое утверждение, остаётся недоказуемым,
2) с аксиомой выбора становится доказуемым истинным,
3) с отрицанием аксиомы выбора (т.е. включением новой аксиомы "аксиома выбора ложна") - и утверждение становится доказуемо ложным,

Это кстати, не противоречит сказанному-

Mikhail_K в сообщении #1661765 писал(а):

Отказавшись от одной из аксиом, мы максимум сделаем какие-то теоремы недоказуемым

Одним из таких утверждений может быть как раз и гипотеза о бесконечном количестве пар простых чисел-близнецов.

-- Вс ноя 17, 2024 23:22:40 --

Кстати, тут отличие гипотезы Римана и гипотезы о бесконечном количестве простых чисел-близнецов.
Если гипотеза Римана ложна, то это можно доказать, просто приведя контр-пример. Не нужно никакого аналитического доказательства.

А в случае, если ложна гипотеза о бесконечном количестве простых чисел-близнецов - никаким контр-примером это не докажешь. Можно привести "последнюю" самую большую пару таких чисел, но о том, что чисел нет на бесконечном промежутке ещё бОльших - тут только аналитическое доказательство нужно.
Потому эта гипотеза - один из таких, самых лучших примеров.

-- Вс ноя 17, 2024 23:32:28 --

mihaild в сообщении #1661762 писал(а):

Чем гипотеза Римана в теории множеств так принципиально отличается от коммутативности в теории группы?

А что, может так быть к примеру, что истинность гипотезы Римана, зависит, включили мы аксиому выбора или нет? Или например континуум-гипотезу?

Уточню.
1) не включаем в систему аксиом- аксиому выбора- и Гипотеза Римана абсолютно недоказуема.
2) включаем в систему аксиом- аксиому выбора- и Гипотеза Римана абсолютно недоказуема.

3) включаем в систему - аксиому "аксиома выбора неверна", (т.е. верно её отрицание) - и Гипотеза Римана становится доказуемой, и истинной.

Вот разве может такое быть? Не верится. Потому что эта гипотеза утверждает о распределении простых чисел, понятных человеку на интуитивном, самом фундаментальном уровне, (так же как и натуральные).
А всякие аксиомы выбора - это неинтуитивные, спорные понятия, раз уж споры так долго ведутся.

[dgwuqtj]

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

Потому что эта гипотеза утверждает о распределении простых чисел, понятных человеку на интуитивном, самом фундаментальном уровне, (так же как и натуральные).

Кажется, вам надо менять интуицию (лично моя интуиция ничего не говорит про простоту случайно взятого 6-значного числа, если очевидные признаки делимости не работают). Ну и определения языков, теорий, моделей и вывода тоже надо бы выучить.

[mihaild]

Skipper в сообщении #1661763 писал(а):

А что, может так быть к примеру, что истинность или ложность гипотезы Римана, зависит, включили мы аксиому выбора или нет?

В таком виде это некорректный вопрос, потому что аксиомы включаются в теории, а истинность проверяется в моделях.
Выводимость конкретно гипотезы Римана от конкретно аксиомы выбора зависеть не может.

EminentVictorians в сообщении #1661764 писал(а):

а значит это утверждение будет истинно во всех моделях этой теории. (это следствие теоремы Геделя о полноте)

О корректности (не уверен, Гёделя или нет). О полноте - все истинные во всех моделях выводимы, о корректности - все выводимые истинны во всех моделях.

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

Я имел в виду, что может быть такое что,
1) без аксиомы выбора некоторое утверждение, остаётся недоказуемым,
2) с аксиомой выбора становится доказуемым истиннымдоказуемым,
3) с отрицанием аксиомы выбора (т.е. включением новой аксиомы "аксиома выбора ложна") - и утверждение становится доказуемо ложнымопровержимым,

(зачеркивание и курсив мои - mihaild) Конечно. Любое утверждение, эквивалентное аксиоме выбора (и только они).

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

А в случае, если ложна гипотеза о бесконечном количестве простых чисел-близнецов - никаким контр-примером это не докажешь. Можно привести "последнюю" самую большую пару таких чисел, но о том, что чисел нет на бесконечном промежутке ещё бОльших - тут только аналитическое доказательство нужно.
Потому эта гипотеза - один из таких, самых лучших примеров

Это называется $\Pi_1$ формулы - арифметические формулы, начинающиеся с квантора всеобщности, а все последующие кванторы ограничены. В базовой формулировке совсем не очевидно, что гипотеза Римана так записывается - совершенно непонятно, как проверять потенциальные нули; но есть экивалентная ей формулировка "некоторое простое неравенство выполнено для всех $n$.
А вот утверждение о бесконечности числа простых близнецов понятно как записать $\Pi_2$-формулой, но непонятно, как записать $\Pi_1$.

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

Вот разве может такое быть? Не верится. Потому что эта гипотеза утверждает о распределении простых чисел, понятных человеку на интуитивном, самом фундаментальном уровне, (так же как и натуральные).

А что червь Беклемишева умирает тоже "понятно на фундаментальном уровне"?

[Skipper]

mihaild в сообщении #1661775 писал(а):

А что червь Беклемишева умирает тоже "понятно на фундаментальном уровне"?

Что там понять надо? Действия с целыми числами, они фундаментальны. Правила как червь работает?
Умирает или не умирает (или недоказуемо). Так же как и с простыми числами-близнецами- бесконечное или конечное количество, или недоказуемое.

Про червя недоказуемо в аксиомах Пеано? Ну, эти аксиомы общепризнаны, и понятны.
Если доказывать будем про червя, добавив другие аксиомы, то их можно принять (очевидны или интуитивно понятны), или не принять (нафантазировал кто-то нового, и не понятного. в таком случае, доказательство не очевидно, другие могут его не принять, и вообще говоря, большинство людей будут считать утверждение недоказуемым).
То же и с гипотезой Римана- если кто-то "докажет" только с привлечением, добавлением, каких-то неочевидных аксиом, это доказательство может быть непризнано, и многие будут считать, что недоказуемо.
Так вроде бы.

[epros]

Skipper в сообщении #1661777 писал(а):

Так же как и с простыми числами-близнецами- бесконечное или конечное количество, или недоказуемое.

Когда говоришь "недоказуемо", то нужно уточнять в какой аксиоматике. Поэтому как "третье логическое значение" это не работает.

Skipper в сообщении #1661767 писал(а):

А в случае, если ложна гипотеза о бесконечном количестве простых чисел-близнецов - никаким контр-примером это не докажешь.

Как раз конструктивно это доказывается именно контрпримером - предъявлением максимального числа-близнеца. Разумеется, к этому контрпримеру придётся приложить доказательство, что не существует большего числа-близнеца.

Если же мы в некой достаточно сильной аксиоматике доказали, что такого числа (максимального близнеца) не существует, то у нас остаётся две возможности:
1) Предположить, что эта сильная аксиоматика противоречива.
2) Поверить в то, что такого числа "действительно" не существует.

Mikhail_K в сообщении #1661765 писал(а):

Судя по Вашим вопросам, Вам близка позиция конструктивизма/интуиционизма. Позиция эта, может, и имеет основания, но проблема тут в том, что этот отказ от закона исключённого третьего сильно усложняет и запутывает всю математику, а преимуществ по сравнению с классическим подходом не даёт практически никаких.

Не берусь судить о том, насколько топикстартеру близка позиция конструктивизма, но с тем, что она якобы "запутывает математику" и "не даёт практически никаких преимуществ", я не соглашусь. Такая позиция обусловлена всего лишь привычкой к классической математике, в которой для начинающих принято замалчивать существование неразрешимых математических проблем, а для продвинутых пользователей, которые уже достаточно прониклись верой в неконструктивные аксиомы, подготовлена мантра о том, что истинность не обязана подтверждаться доказательством, просто нужно построить некую "модель" и т.п.

Skipper в сообщении #1661757 писал(а):

Вопрос то не в этом заключается.
А в том, что мы не можем про любое утверждение говорить что оно или истинно или ложно?

Вот в чём вопрос.

Ответ капитана Очевидность: Мы можем про любое утверждение говорить, что оно "истинно", что оно "ложно" или ничего подобного не говорить. Это всего лишь разговоры, а вся суть в том, зачем нам подобные разговоры нужны.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1661775 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1661764 писал(а):

а значит это утверждение будет истинно во всех моделях этой теории. (это следствие теоремы Геделя о полноте)

О корректности

Это просто я думал об одном, а писал о другом)) Понятно, что это теорема о корректности, но следствие-то она (сама теорема о корректности) - теоремы Геделя о полноте (о том, что всякая непротиворечивая теория имеет модель). По-моему, я из неё (теоремы Геделя) выводил теорему о корректности (но могу и ошибаться, давно не занимался вдумчиво матлогикой).

[Skipper]

epros в сообщении #1661824 писал(а):

Когда говоришь "недоказуемо", то нужно уточнять в какой аксиоматике.

В общепризнанной, в той же в которой доказаны нынешние теоремы из теории чисел, натуральных, простых и т.д.
Ну или если в будущем в аксиоматику добавят очевидные аксиомы, как и те очевидные есть какие в нынешней общепризнанной. После какого то момента, добавление каких то неочевидных аксиом, будет приводить к тому, что можно не верить и этим аксиомам, и доказательствам следующим из них.

-- Пн ноя 18, 2024 12:27:34 --

epros в сообщении #1661824 писал(а):

Как раз конструктивно это доказывается именно контрпримером - предъявлением максимального числа-близнеца. Разумеется, к этому контрпримеру придётся приложить доказательство, что не существует большего числа-близнеца.

Необязательно. По аналогии, Число Скъюза объявили, что оно существует и этого было достаточно. Никто не предъявлял его конкретно.

-- Пн ноя 18, 2024 12:30:37 --

epros в сообщении #1661824 писал(а):

для начинающих принято замалчивать существование неразрешимых математических проблем, а для продвинутых пользователей, которые уже достаточно прониклись верой в неконструктивные аксиомы, подготовлена мантра о том, что истинность не обязана подтверждаться доказательством, просто нужно построить некую "модель" и т.п.

Вот и я о том же толкую.

[epros]

Skipper в сообщении #1661866 писал(а):

epros в сообщении #1661824 писал(а):

Когда говоришь "недоказуемо", то нужно уточнять в какой аксиоматике.

В общепризнанной,

Такой нет. Утверждения про натуральные числа можно доказывать в аксиоматике Пеано первого или второго порядка, а можно - в любой из аксиоматик теории множеств - просто ZF или ZFC, или добавив в неё гипотезу континуума, существование недостижимых кардиналов или что угодно ещё. Результаты будут разными.

Насколько я понимаю, доказательство ВТФ многие не приемлют именно по причине того, что оно выполнено в излишне сильной с их точки зрения аксиоматике. На этом форуме для таких людей даже специальный раздел выделен.

Skipper в сообщении #1661866 писал(а):

epros в сообщении #1661824 писал(а):

Как раз конструктивно это доказывается именно контрпримером - предъявлением максимального числа-близнеца. Разумеется, к этому контрпримеру придётся приложить доказательство, что не существует большего числа-близнеца.

Необязательно. По аналогии, Число Скъюза объявили, что оно существует и этого было достаточно. Никто не предъявлял его конкретно.

Я же там специально выделял слово "конструктивно", а Вы сейчас говорите о неконструктивном доказательстве.

Skipper в сообщении #1661866 писал(а):

Вот и я о том же толкую.

Ну, можете посмотреть на этот вопрос с точки зрения конструктивного анализа. Там ведь, как бы, основная идея в том, что любая истина должна быть доказана, поэтому и закон исключённого третьего, а вместе с ним и двузначность логики не принимается.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1661872 писал(а):

Ну, можете посмотреть на этот вопрос с точки зрения конструктивного анализа. Там ведь, как бы, основная идея в том, что любая истина должна быть доказана, поэтому и закон исключённого третьего, а вместе с ним и двузначность логики не принимается.

Зато там простейшие функции типа

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0, x < 0 \\ 1, x \geqslant 0 \\ \end{array} \right. $$

оказываются невычислимыми.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1661875 писал(а):

Зато там простейшие функции типа

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0, x < 0 \\ 1, x \geqslant 0 \\ \end{array} \right. $$

оказываются невычислимыми.

Невычислима эта функция и в классическом анализе, здесь конструктивный анализ ничего нового не предложил. Тут просто вопрос терминологии: С точки зрения конструктивного анализа то, что невычислимо, не может считаться определённой "функцией".