Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1623191 писал(а):

Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что

$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

1 способ:

\small\begin{align*} &\left(\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2}{xy} + xy - \frac{7}{2}\right) + \left(x+\sqrt{xy}+y - 3\right) = \\\\ &=\frac{(xy-1)^2}{xy} +\frac{\left(x+\sqrt{xy}+y-3\right)^2(2x+2\sqrt{xy}+2y+3)}{2(x+\sqrt{xy}+y)^2} +\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^4\left(2(x^2+y^2)+12\sqrt{xy}(x+y)+17xy\right)}{2xy(y^2+x^2)(x+\sqrt{xy}+y)^2}\end{align*}

(maxima code)

assume(x > 0, y > 0) ;

f(t) := 1/(x^2+y^2)+2/(x*y)+x*y-7/2  + x+sqrt(x*y)+y-3 ;

r(t) := (x*y-1)^2/(x*y) + (x+sqrt(x*y)+y-3)^2*(2*x+2*sqrt(x*y)+2*y+3)/(2*(x+sqrt(x*y)+y)^2) + 

(sqrt(x)-sqrt(y))^4*(2*(x^2+y^2)+12*sqrt(x*y)*(x+y)+17*x*y)/(2*x*y*(x^2+y^2)*(x+sqrt(x*y)+y)^2) ;

ratsimp(f(t)-r(t));

2 способ ( Hello_Ok@AoPS ):

\small\begin{align*} &LHS=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}3}-3 \ge \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2\sqrt{ab}}-3= \\\\ &= \left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+ \frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+ab \right)-3\stackrel{AM-GM}{\ge} \frac{7}{2} \end{align*}

[Klein]

Задача на устном вступительном экзамене в Московский университет в 1980-ые. В статье А. Шеня пишут задача трудная. Поступающие жаловались.

(Л. Е. Евтушик, В. А. Любишкин, 1984)

Решить уравнение

$ x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 = 0 $

Школьными способами.

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 $
$P(x)= (x^4 - 14x^3 + 49x^2) + (17x^2 - 115x + 66,25)$
$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

$(x^2 - 7x)^2 \geq 0 \text{ для всех } x$

$\text{Наименьшее значение для } 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17} \text{ в точке } x = \frac{115}{34}$

$\( P\left(\frac{115}{34}\right) > 0 \)$

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 > 0 \text{ для всех } x$

Решений в действительных числах нет.

[Rak so dna]

Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

[Klein]

Rak so dna в сообщении #1660392 писал(а):

Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

В чем ошибка?

[Rak so dna]

Это представление:

$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

не доказывает неотрицательность $P(x)$.

Кроме того, в условии не требуется действительность корней.

[nnosipov]

Rak so dna в сообщении #1660396 писал(а):

Кроме того, в условии не требуется действительность корней.

Если иметь в виду реалии тех лет, то вещественность корней предполагалась (тогда комплексные числа не входили в школьную программу). Это тот француз (автор списка задач) домыслил.