Вероятностная теория чисел

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659926 писал(а):

Я думаю, что это не является достаточным условием существования предельной функции распределения.

Является. Это уже совсем простое упражнение на понимание определений: если $f_n$ - последовательность случайных величин, такая что $P(f_n \neq 0) \to 0$, то $f_n$ сходится по распределению.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659927 писал(а):

vicvolf в сообщении #1659926 писал(а):

Я думаю, что это не является достаточным условием существования предельной функции распределения.

Является. Это уже совсем простое упражнение на понимание определений: если $f_n$ - последовательность случайных величин, такая что $P(f_n \neq 0) \to 0$, то $f_n$ сходится по распределению.

Это что преподавательская жилка? Доказывайте, что 4 свойства выполняются)

[mihaild]

Это что за попытка подбить меня на нарушение правил?

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

Во всех разделах форума запрещается размещать готовые решения простых учебных задач.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659929 писал(а):

Это что за попытка подбить меня на нарушение правил?

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

Во всех разделах форума запрещается размещать готовые решения простых учебных задач.

Ну что Вы, как я могу) В учебниках таких задач нет. Но задача действительно простая.
Если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... 0%B8%D1%8F
Здесь в помощь, что мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Выполнение свойств 2,3,4 очевидно. В отношении пункта 1 имеются разрывы первого рода, но их мощность стремится к 0.

[mihaild]

Я не очень понимаю, что и зачем Вы доказываете, поэтому проверить не могу. Единственное - точно непонятно, что такое "мощность стремится к нулю".

Разговор был о том, что

mihaild в сообщении #1659927 писал(а):

если $f_n$ - последовательность случайных величин, такая что $P(f_n \neq 0) \to 0$, то $f_n$ сходится по распределению

Для этого, как известно, нужно показать, что $F_n(x) \to_n \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x > 0\end{cases}$, где $F_n$ - функция распределения $f_n$.
(ну точнее это нужно чтобы доказать, что последовательность не просто сходится по распределению, а к распределению, сосредоточенному в нуле)

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660060 писал(а):

Для этого, как известно, нужно показать, что $F_n(x) \to_n \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x > 0\end{cases}$, где $F_n$ - функция распределения $f_n$.

Это свойства 3 и 4 в ссылке, которую я привел. Но есть еще свойства 1 и 2 в ссылке, которые надо доказать. Свойство 2 (монотонное возрастание функции распределения) доказывается просто, так как дискретная функция распределения в каждой точке либо не меняется, либо возрастает на вероятность $p(x_i)$ в точке $x_i$, а вот доказательство свойства 1 в данном случае интересно.

mihaild в сообщении #1660060 писал(а):

к распределению, сосредоточенному в нуле)

А что это за зверь? Можно определение?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660069 писал(а):

Это свойства 3 и 4 в ссылке, которую я привел

Что именно - "это"? То, что я написал - это сходимость, а ссылка - про понятие функции распределения.

vicvolf в сообщении #1660069 писал(а):

А что это за зверь?

Распределение на $\mathbb R$, такое что $P(X) = \begin{cases} 1 & 0 \in X \\ 0\end{cases}$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660070 писал(а):

Распределение на $\mathbb R$, такое что $P(X) = \begin{cases} 1 & 0 \in X \\ 0\end{cases}$.

Не очень удачный пример. Предельным является вырожденное распределение и предельной случайной величиной - вырожденная случайная величина: постоянная равная 0.
Вы вообще очень сужаете класс арифметических функций, имеющих предельное распределение. Например, считаете, что мат. ожидание предельной случайной величины должно быть равно 0, но это неправильно. Например, существует предельное распределение у сильно мультипликативной арифметической функции $\varphi(n)/n$, а предел мат. ожидание данной арифметической функции равен $6/\pi^2>0$ (см. стр. 19 и 21) http://www.alternatievewiskunde.nl/QED/prob.pdf
Предельное распределение имеет достаточно широкий класс аддитивных и мультипликативных арифметических функций (см. теорему 11.2 на стр. 57) там же. В том числе аддитивные арифметические функции $\omega(n),\Omega(n)$, которые имеют предельным нормальное распределение, о чем сказано в начале стр. 62 там же. На той же странице приведено доказательство Селберга теоремы Эрдеша-Каца.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660092 писал(а):

Не очень удачный пример

Это был пример того, что неограниченная арифметическая функция все еще может задавать в Вашем смысле сходящуюся последовательность распределений, и больше ничего. Естественно могут получаться и другие распределения (вроде бы на самом деле любое распределение можно получить, но сходу не вижу, как доказать).

vicvolf в сообщении #1660092 писал(а):

Предельное распределение имеет достаточно широкий класс аддитивных и мультипликативных арифметических функций (см. теорему 11.2 на стр. 57) там же

Для монотонно возрастающей функции первый ряд для любого $R$ расходится, а второй вообще конечен. Так что эта теорема в частности влечет

mihaild в сообщении #1659824 писал(а):

никакая неограниченная [монотонная - mihaild] арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений

vicvolf в сообщении #1660092 писал(а):

В том числе аддитивные арифметические функции $\omega(n),\Omega(n)$, которые имеют предельным нормальное распределение, о чем сказано в начале стр. 62 там же

Нет, о чем я уже писал.

mihaild в сообщении #1659895 писал(а):

утверждается, что к нормальному распределению сходится последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$, а вовсе не функцией $\omega(n)$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660094 писал(а):

никакая неограниченная [монотонная - mihaild] арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений

С этим я согласен. Например, аддитивная арифметическая функция $f(n)=\ln(n)$ и мультипликативная арифметическая функция $g(n)=n$ не имеют предельных распределений.

mihaild в сообщении #1660094 писал(а):

утверждается, что к нормальному распределению сходится последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$, а вовсе не функцией $\omega(n)$.

Не к нормальному, а стандартному нормальному распределению.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660129 писал(а):

Не к нормальному, а стандартному нормальному распределению.

Да, но если последовательность распределений, порожденная функцией $f(n)$, сходится хоть к чему-то, то последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{f(n) - g(n)}{\sqrt{g(n)}}$ для стремящейся к бесконечности $g$ не сходится ни к чему.

[vicvolf]

Укажу еще сильно аддитивную арифметическую функцию $\ln( \varphi(n)/n)$ и аддитивную арифметическую функцию $\ln(\sigma(n)/n)$, имеющих предельные распределения и отличные от нуля мат. ожидания.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660130 писал(а):

vicvolf в сообщении #1660129 писал(а):

Не к нормальному, а стандартному нормальному распределению.

Да, но если последовательность распределений, порожденная функцией $f(n)$, сходится хоть к чему-то, то последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{f(n) - g(n)}{\sqrt{g(n)}}$ для стремящейся к бесконечности $g$ не сходится ни к чему.

Нет, например, если последовательность распределений, порожденная функцией $f(n)$ сходится к нормальному распределению с мат. ожиданием и дисперсией равной $g(n)$, то последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{f(n) - g(n)}{\sqrt{g(n)}}$ сходится к стандартному нормальному распределению. Смотрите стр 7 первую фразу там же http://www.alternatievewiskunde.nl/QED/prob.pdf

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660157 писал(а):

Нет, например, если последовательность распределений, порожденная функцией $f(n)$ сходится к нормальному распределению с мат. ожиданием и дисперсией равной $g(n)$

Что это вообще значит? Ожидание и дисперсия - это числа, а не функции.

vicvolf в сообщении #1660157 писал(а):

Смотрите стр 7 первую фразу там же

Было бы очень хорошо, если бы товарищи написали определение "asymptoically normally distributed". И что такое "нормальное распределение с ожиданием $\log \log n$", где $n$ меняется.

Но в любом случае, понятие сходимости по распределению стандартное, записано в куче мест в эквивалентных формулировках, и если Вы хотите называть этим термином что-то другое - нужно явно написать определение. И потом, естественно, аккуратно проверять, какие из стандартных свойств выполнены.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660161 писал(а):

Что это вообще значит? Ожидание и дисперсия - это числа, а не функции.

Вам задана арифметическая функция: $f(1),f(2),...,f(n)$ на интервале $[1,n]$, тогда ее математическое ожидание $E[f,n]=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n f(m)$ зависит от длины интервала?
Например, мат. ожидание функции Эйлера равно $E[\varphi,n]=\frac{3}{\pi^2}n+O(\ln(n))$ (Бухштаб. Теория чисел стр. 328).