Вероятностная теория чисел

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659183 писал(а):

vicvolf в сообщении #1659181 писал(а):

поэтому я ввел это допущение, что все происходит на одном вероятностном пространстве

Так а на каком?

Будем считать, что $K(1),K(2),...K(n),...$ - определены соответственно на 1-ом, 2-ом, ....n-ом,...вероятностном пространстве. Тогда я рассматриваю $n$-ое вероятностное пространство, где $K(n)=x_1+...+x_n$, где $x_1,...,x_n$ - независимые случайные величины.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659218 писал(а):

Будем считать, что $K(1),K(2),...K(n),...$ - определены соответственно на 1-ом, 2-ом, ....n-ом,...вероятностном пространстве

Так $K(7)$ - это же просто число, в каком смысле оно определено на вероятностном пространстве?

[vicvolf]

Да, я не точно выразился, конечно арифметическая функция принимает значения: $K(1),K(2),...,K(n)$, а случайная величина, определенная на $n$- ом вероятностном пространстве - $K_n$ принимает значения: $K_n(1)=K(1),K_n(2)=K(2),...,K_n(n)=K(n)$, т.е. она принимает значения полностью совпадающие с исходной аритфметической функцией.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1659163 писал(а):

Поставим цель устранить указанную ошибку и найти такое подмножество натуральных чисел $A$, чтобы события $a_i \in A$ были независимыми, т.е. $P(a_1 \in A,...,a_k \in A)=P(a_1 \in A)...P(a_k \in A)$. (11)

Пусть имеется простое число $q \geq 3$, тогда обозначим

$Q=\prod_{2 \leq p \leq q}{p}$, (12)

т.е. праймориал $q$.

Будем удалять из отрезка натурального ряда последовательно числа, делящиеся на $2,3,...,q$. Таким образом, мы удаляем все числа вида $km$, которые превносили зависимость.
Обозначим полученное подмножество - $A$. Пусть $a \in A$, тогда на основании (12) в этом случае - $(a,Q)=1$.

Пусть имеется последовательность натуральных чисел $a_1,...,a_k$, удовлетворяющая условиям:

$a_1<Q,...,a_k<Q, (a_1,Q)=1,...,(a_k,Q)=1$, (13)

тогда различные события, что $a_i \in A$ в силу построения и (13) будут независимыми, т.е. выполняется условие (11).

Устремим $q \to \infty$, тогда подмножество $A$ станет подмножеством простых чисел, а $a_1,...,a_k$ - простыми числами и различные события принадлежности к подмножеству простых чисел будут независимыми.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1659331 писал(а):

Устремим $q \to \infty$, тогда подмножество $A$ станет подмножеством простых чисел, а $a_1,...,a_k$ - простыми числами и различные события принадлежности к подмножеству простых чисел будут независимыми.

Таким образом, в рассмотренных ранее примерах, события принадлежности натуральных чисел к подмножеству простых чисел, натуральных чисел в арифметической прогрессии к подмножеству простых чисел и $k$ -кортежей натуральных чисел к простым $k$ - кортежам будут соответственно независимыми.

Рассмотрим последовательность случайных величин $x_1,x_2,...,x_n,...$, определенных на одном вероятностном пространстве. Пусть случайная величина $x_i$ принимает значение $1$, когда выбранный объект (натуральное число, кортеж натуральных чисел и.т.д.) принадлежит подмножеству простых чисел, в противном случае $x_i=0$. Учитывая, независимость указанных выше событий, случайные величины $x_i$ являются независимыми случайными величинами Бернулли. Таким образом, показана независимость случайных величин для указанных выше примеров.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659183 писал(а):

Вообще, что Вы сделать-то пытаетесь?

vicvolf в сообщении #1657196 писал(а):

проверить имеет ли $K(n)$, в конкретном случае, предельным нормальное распределение при $n \to \infty$

Здесь надо уточнить. Арифметическая функция $f$ называется индикатором, если $f(m)=1$ для $m \in A$ и $f(m)=0$ в противном случае, где A - какое-либо подмножество натуральных чисел. Обозначим арифметическую функцию индикатор - $1_A(m)$ или просто $1_A$. Исходя из данного определения арифметическую функцию $K(n)$ можно записать в виде:
$K(n)=\sum_{m=1}^n {1_A(m)}$. (14)

Если у нас есть вероятностное пространство с вероятностной мерой $P$, а $A$ - измеримое множество, то индикатор $1_A$ становится случайной величиной Бернулли с математическим ожиданием:
$E[1_A]=P(A)$. (15)
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%BA%D0%B0

На основании (14) и (15) нас интересует предельное распределение суммы случайных величин Бернулли.

Учитывая (15) получим:
$E[1_A]=P(A)=\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n {1_A(m)}=\frac{K(n)}{n}$, (16)

т.е. вероятности в распределении случайных величин Бернулли соответствуют рассмотренному ранее вероятностному пространству.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1657196 писал(а):

проверить имеет ли $K(n)$, в конкретном случае, предельным нормальное распределение при $n \to \infty$

vicvolf в сообщении #1659602 писал(а):

Исходя из данного определения арифметическую функцию $K(n)$ можно записать в виде:
$K(n)=\sum_{m=1}^n {1_A(m)}$.

Обозначьте, пожалуйста, Ваши случайные величины (которые разные) и арифметическую функцию (которая всегда одна), как-то по-разному.

Ну и понятно, что если у нас есть последовательность случайных величин $K_N$, $K_N$ определена на вероятностном пространстве $1, \ldots, N$ (с равномерным распределением) формулой $K_N(n) = K(n) = |\{x | x \in A \wedge x \leq n\}|$, то $K_n$ по распределению сходится либо к константе, равной мощности $A$, если $A$ ограничено, либо никуда, если $A$ не ограничено.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659684 писал(а):

Ну и понятно, что если у нас есть последовательность случайных величин $K_N$, $K_N$ определена на вероятностном пространстве $1, \ldots, N$ (с равномерным распределением) формулой $K_N(n) = K(n) = |\{x | x \in A \wedge x \leq n\}|$, то $K_n$ по распределению сходится либо к константе, равной мощности $A$, если $A$ ограничено, либо никуда, если $A$ не ограничено.

А можно это доказать?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659804 писал(а):

А можно это доказать?

Пусть $A$ не ограничено. Докажите, что для любого $X$, всех достаточно больших $n$, $P(K_n > X) > 1/2$.

[vicvolf]

$P(K_n>n)=0<1/2$

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659815 писал(а):

$P(K_n>n)=0<1/2$

Порядок кванторов такой: $\forall X \exists N \forall n > N: P(K_n > X) > 1/2$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659817 писал(а):

vicvolf в сообщении #1659815 писал(а):

$P(K_n>n)=0<1/2$

Порядок кванторов такой: $\forall X \exists N \forall n > N: P(K_n > X) > 1/2$.

В данном случае я указал такое $X$, для которого не существует $N$, что для любого $n>N$ выполняется $P(K_n > X) > 1/2$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659820 писал(а):

В данном случае я указал такое $X$

Нет, не указали. $X$ не может зависеть от $n$, потому что квантор по $n$ идет после квантора по $X$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659817 писал(а):

Порядок кванторов такой: $\forall X \exists N \forall n > N: P(K_n > X) > 1/2$.

Таким свойством обладает любая монотонно возрастающая действительная арифметическая функция, не только $K(n)$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659823 писал(а):

Таким свойством обладает любая монотонно возрастающая действительная арифметическая функция, не только $K(n)$

Ну да. Поэтому никакая неограниченная арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений.