Не очень удачный пример
Это был пример того, что неограниченная арифметическая функция все еще может задавать в Вашем смысле сходящуюся последовательность распределений, и больше ничего. Естественно могут получаться и другие распределения (вроде бы на самом деле любое распределение можно получить, но сходу не вижу, как доказать).
Предельное распределение имеет достаточно широкий класс аддитивных и мультипликативных арифметических функций (см. теорему 11.2 на стр. 57) там же
Для монотонно возрастающей функции первый ряд для любого
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
расходится, а второй вообще конечен. Так что эта теорема в частности влечет
никакая неограниченная [монотонная - mihaild] арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений
В том числе аддитивные арифметические функции
![$\omega(n),\Omega(n)$ $\omega(n),\Omega(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda3b8dee7668549a01053ba885657382.png)
, которые имеют предельным нормальное распределение, о чем сказано в начале стр. 62 там же
Нет, о чем я уже писал.
утверждается, что к нормальному распределению сходится последовательность распределений, порожденная функцией
![$\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$ $\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92ff0d9fca5813ac21f26cc5a4e2df8a82.png)
, а вовсе не функцией
![$\omega(n)$ $\omega(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/9/e09593523aa14f7e0aff6d53ac01f05782.png)
.