Вероятностная теория чисел

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659824 писал(а):

никакая неограниченная арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений.

$\omega(n)$ - неограниченная арифметическая функция имеет предельным нормальное распределение.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659826 писал(а):

$\omega(n)$ - неограниченная арифметическая функция

Нет. Например для нормального распределения $P(\mathcal N < 0) = 1/2$, но $P(\omega_n < 0) = 0 \not \to 1/2$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659828 писал(а):

Например для нормального распределения $P(\mathcal N < 0) = 1/2$

Это только в случае, когда математическое ожидание случайной величины равно 0. Однако, математическое ожидание количества простых делителей натурального $n$ - $E[\omega(n)]=\ln\ln n>0$. Не смотря на это, на основании теоремы Эрдеша-Каца, $\omega(n)$ имеет предельным нормальное распределение https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 1%86%D0%B0

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659866 писал(а):

на основании теоремы Эрдеша-Каца, $\omega(n)$ имеет предельным нормальное распределение

Нет, прочитайте внимательно формулировку.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659890 писал(а):

vicvolf в сообщении #1659866 писал(а):

на основании теоремы Эрдеша-Каца, $\omega(n)$ имеет предельным нормальное распределение

Нет, прочитайте внимательно формулировку.

Мы с Вами не в разделе ПМР, а в дискуссионном, поэтому, пожалуйста, доказывайте, что утверждаете и указывайте, что имеете в виду. Я читал доказательство Турана. Там доказано все точно на основании характеристических функций.

[mihaild]

Если верить статье в википедии, то утверждается, что к нормальному распределению сходится последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$, а вовсе не функцией $\omega(n)$.

mihaild в сообщении #1659824 писал(а):

Поэтому никакая неограниченная арифметическая функция не задает в Вашем смысле последовательность сходящихся распределений

Тут я, кстати, наврал, потерял монотонность.
Неограниченные арифметические функции, задающие в Вашем смысле сходящуюся последовательность распределений, существуют, например $f(2^n) = g(n)$, $f(k) = 0$ при $k \neq 2^n$.
Но $\omega(n)$ сходящуюся последовательность распределений не задает.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659895 писал(а):

Если верить статье в википедии, то утверждается, что к нормальному распределению сходится последовательность распределений, порожденная функцией $\frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$, а вовсе не функцией $\omega(n)$.

Обычный прием приведения случайной величины с произвольным нормальным распределением к случайной величине со стандартным нормальным распределением. Если эта функция имеет предельным стандартное нормальное распределение, то $\omega(n)$ имеет также предельным нормальное распределение с мат. ожиданием и дисперсией - $\log \log n$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659898 писал(а):

Обычный прием приведения случайной величины с произвольным нормальным распределением

Нет, это было бы такое сведение, если бы сдвиг и масштаб были бы константами. А разными сдвигами в разных точках можно из произвольной функции сделать произвольную другую. Поэтому если Вы, ссылаясь на это, говорите, что $\omega(n)$ задает последовательность распределений, сходящуюся к нормальному, то то же самое можно сказать вообще про любую арифметическую функцию.

(придумайте, пожалуйста, какое-нибудь обозначение для последовательности случайных величин, порожденной Вашим способом из арифметической функции)

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659895 писал(а):

Тут я, кстати, наврал, потерял монотонность.

Вот именно потеряли. $\omega(n)$ монотонностью не обладает и последовательность случайных величин, соответствующих данной арифметической функции имеет предельным нормальное распределение (посмотрите доказательство Турана).

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659901 писал(а):

$\omega(n)$ монотонностью не обладает и последовательность случайных величин, соответствующих данной арифметической функции имеет предельным нормальное распределение (посмотрите доказательство Турана)

Дайте ссылку на конкретное доказательство. Или хотя бы точно процитируйте формулировку.
Утверждение по Вашей ссылке на википедию, скорее всего, верно. Но оно противоречит Вашему утверждению, что $\omega_n$ сходится по распределению к нормальному (и вообще хоть куда-то).

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659828 писал(а):

Например для нормального распределения $P(\mathcal N < 0) = 1/2$, но $P(\omega_n < 0) = 0 \not \to 1/2$.

Вот это меня напрягает)
Многие арифметические функции $f(n)$ принимают только положительные значения. И что соответствующая последовательность случайных величин $f_n$ не может иметь предельным нормальное распределение?

mihaild в сообщении #1659904 писал(а):

Дайте ссылку на конкретное доказательство.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa4/aa417.pdf

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659906 писал(а):

И что соответствующая последовательность случайных величин $f_n$ не может иметь предельным нормальное распределение?

Да, не может.
Собственно и в обычной ЦПТ Вам при суммировании нужно из суммы вычесть ожидание и поделить на дисперсию, почему здесь Вы хотите обойтись без этого?

vicvolf в сообщении #1659906 писал(а):

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa4/aa417.pdf

Там еще одна формулировка, отличающаяся и от Вашей, и от википедийной. Очевидно противоречит Вашей, и я сходу не соображу, как соотносится с википедийной.
Пусть $\omega(n)$ - число делителей числа $n$, $\Phi(x)$ - функция распределения нормального распределения.
Для арифметической функции $f$, пусть $M_n(f, x) = |\{k | k \leq n \wedge f(k) < x\}|$.
Пусть $g(k) = \frac{\omega(k) - \log \log k}{\sqrt{\log \log k}}$, и пусть $h_n(k) = \frac{\omega(k) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}}$.

Ваше утверждение: $\frac{M_n(\omega, x)}{n} \to_n \Phi(x)$.
Утверждение из Википедии: $\frac{M_n(g, x)}{n} \to_n \Phi(x)$.
Утверждение из статьи: $\frac{M_n(h_n, x)}{n} \to_n \Phi(x)$.

У Вас и в Википедии все случайные величины (начиная с четвертой) имеют одно и то же значение на, например, числе $4$: у Вас $2$, в википедии примерно $3.42$. В статье же у всех случайных величин значения на $4$ разные, потому что каждая следующая величина имеет свой сдвиг и масштаб.

Конечно двойной логарифм растет довольно медленно, и, возможно, такая замена на предел не влияет. Но это надо доказывать, и мне сходу не очевидно как.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659895 писал(а):

Неограниченные арифметические функции, задающие в Вашем смысле сходящуюся последовательность распределений, существуют, например $f(2^n) = g(n)$, $f(k) = 0$ при $k \neq 2^n$.

Почему? А если $g(n)>0$?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1659920 писал(а):

А если $g(n)>0$?

То это никак не повлият на то, что $P(f_n \neq 0) =\frac{\lceil \log_2 n\rceil}{n} \to 0$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1659921 писал(а):

vicvolf в сообщении #1659920 писал(а):

А если $g(n)>0$?

То это никак не повлият на то, что $P(f_n \neq 0) =\frac{\lceil \log_2 n\rceil}{n} \to 0$.

Я думаю, что это не является достаточным условием существования предельной функции распределения. Должны выполняться 4 свойства указанные здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... 0%B8%D1%8F