Почему вспомогательная функция в доказательстве именно такая

[Anton_Peplov]

evdokimovm в сообщении #1659657 писал(а):

Если серьезно, я привык изучать какую-либо тему до момента

Боюсь, Вам, как и мне в свое время, предстоит постепенное и болезненное отвыкание.

[evdokimovm]

TOTAL в сообщении #1659658 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659657 писал(а):

Ну, я имел ввиду докопаться до того откуда взялась функция.

Из головы взялась. Из чьей-то.
(А как она в голову попала?)

Ну то есть в математике на самом деле вот такой подход является валидным? Я имею ввиду, мы же не можем залезть в голову человеку который эту функцию придумал, но так как в конечном итоге все дальнейшие манипуляции с этой функцией дают нам то что нам в итоге и было нужно, то ну давайте просто бездумно возьмем эту функцию и будем ей пользоваться и дальше. Так что-ли?

Вы не подумайте, я не тролль какой то Просто, меня когда-то давно убедили в том что если ты не понимаешь каждую деталь в какой-либо теме, до момента когда ты можешь сказать откуда она взялась, то ты этого и не понимаешь. Ну типа, "не имеешь права" этим пользоваться. Или что-то вроде того. Понимаете? Я это кстати описал в третьем сообщении (где картинка с теоремой Пифагора прикреплена).

[drzewo]

лирика

(Оффтоп)

Когда-то давно когда я готовился к экзаменам по матану и разбирался с формулой Тейлора, я сделал так

$$f(x_2)-f(x_1)=\int_0^1\frac{d}{ds}f((1-s)x_1+sx_2)ds,\quad x_1,x_2\in\mathbb{R}^m\qquad (*)$$

Мне эта формула понятна потому, что в аргументе функции под интегралом стоят точки отрезка соединяющего точки $x_1$ и $x_2$. Потом я стал брать этот интеграл по частям и получил, что и обычно в таких случаях получают. Это самую-самую малость измененное не по сути, а по форме стандартное доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Меня устраивает именно такая форма. (Ни на какую новизну, даже методическую я естественно не претендую )
Отсюда выводятся и остаточные члены в форме Лагранжа и Пеано. Я понимаю, что они выводятся отсюда в более стесненных предположениях. Но мне психологически комфортно держать в голове именно такую конструкцию. С задачами, где эти более стесненные предположения оказываются критическими я не сталкивался, а со всякими интегральными неравенствами основанными на формулах типа (*) -- дофига. Вот я думаю, что у любого , кто этим ремеслом занимается, по разным вопросам сидят в голове такие картинки, основанные где-то на прочитанных книках, где-то на лекциях, где-то на своем собственном опыте.

[Dedekind]

evdokimovm в сообщении #1659663 писал(а):

Я имею ввиду, мы же не можем залезть в голову человеку который эту функцию придумал, но так как в конечном итоге все дальнейшие манипуляции с этой функцией дают нам то что нам в итоге и было нужно, то ну давайте просто бездумно возьмем эту функцию и будем ей пользоваться и дальше. Так что-ли?

Если логика доказательства нигде не нарушена - то это полностью валидный подход.

[iifat]

evdokimovm в сообщении #1659636 писал(а):

Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это найти каким-то образом преподавателя из университета, с математического факультета, который в устной форме, в дискуссии, даст идею откуда взялся сабж?

Сильно сомневаюсь, что какой-нибудь преподаватель из какого-нибудь университета, который сможет, в любой форме, дать хоть что-нибудь похожее на идею. Разве что подзатыльник, это может быть полезным, но для этого необязательно искать преподавателя университета. Вопрос ваш, несколько утрируя — а почему в определении $f(x)=x^2$ использован справа именно $x$. Да, ваш чуток поумнее, но тратить на него сколь-нить времени — не то чтобы глупо, но в деле постижения математики вас нисколько не продвигает.

[evdokimovm]

iifat в сообщении #1659666 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659636 писал(а):

Единственный вариант для меня "докопаться до истины" это найти каким-то образом преподавателя из университета, с математического факультета, который в устной форме, в дискуссии, даст идею откуда взялся сабж?

Сильно сомневаюсь, что какой-нибудь преподаватель из какого-нибудь университета

А это кстати вообще практикуется? Возможно ли приходить в университеты на прослушивании лекций, ну по какой-то предварительной договоренности само собой? Или даже к преподавателю, наверно, за каким-то вопросом. В общем, не будучи студентом.

Я вот например из Владивостока, у нас здесь ДВФУ есть. Или мне в нем и правда только подзатыльников и выдадут?

[TOTAL]

evdokimovm в сообщении #1659663 писал(а):

Просто, меня когда-то давно убедили в том что если ты не понимаешь каждую деталь в какой-либо теме, до момента когда ты можешь сказать откуда она взялась

Кому сказать? Этот кто-то может выстроить бесконечную цепочку из "почему и откуда", может оказаться троллем.

[Утундрий]

evdokimovm в сообщении #1659663 писал(а):

меня когда-то давно убедили в том что если ты не понимаешь каждую деталь в какой-либо теме, до момента когда ты можешь сказать откуда она взялась, то ты этого и не понимаешь.

Изящный способ помножить на нуль возможного конкурента.

[Mikhail_K]

evdokimovm в сообщении #1659663 писал(а):

Ну то есть в математике на самом деле вот такой подход является валидным? Я имею ввиду, мы же не можем залезть в голову человеку который эту функцию придумал, но так как в конечном итоге все дальнейшие манипуляции с этой функцией дают нам то что нам в итоге и было нужно, то ну давайте просто бездумно возьмем эту функцию и будем ей пользоваться и дальше. Так что-ли?

Полностью валидный.

Я помню, как я ещё школьником решал разные задачи (обычные, несложные) из домашнего задания по математике. Иногда одноклассники просили показать моё решение, я показывал, а они спрашивали, почему я сделал какой-то шаг в решении. И я всегда объяснял так: в математике при решении задач можно делать всё что угодно, главное соблюдать логику и чтобы решение в конце получилось. Одноклассникам этот ответ не очень нравился, но мне именно этот момент казался очень важным для правильного понимания математики. При решении задачи вы не ограничены необходимостью делать только "целесообразные" шаги: можно делать любые, вам не нужно ни перед кем оправдываться за их целесообразность.

Решение задачи (или доказательство теоремы) можно сравнить с игрой (например в шахматы, но более точная аналогия - раскладывание пасьянса, потому что в этой игре нет соперника, а есть только цель). Можно делать любые ходы, разрешённые правилами. Если ты выигрываешь, ты не обязан объяснять, почему ты ходил именно так, а не иначе - причём не обязан даже самому себе. Требование объяснить, зачем сделан тот или иной шаг в решении задачи - совсем не математическое. Хотя над этим бывает и полезно поразмышлять, но без гарантий, что откроется какая-то истина, и что она в этом направлении вообще какая-то есть.

[evdokimovm]

Anton_Peplov в сообщении #1659662 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659657 писал(а):

Если серьезно, я привык изучать какую-либо тему до момента

Боюсь, Вам, как и мне в свое время, предстоит постепенное и болезненное отвыкание.

Mikhail_K в сообщении #1659676 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659663 писал(а):

Ну то есть в математике на самом деле вот такой подход является валидным? Я имею ввиду, мы же не можем залезть в голову человеку который эту функцию придумал, но так как в конечном итоге все дальнейшие манипуляции с этой функцией дают нам то что нам в итоге и было нужно, то ну давайте просто бездумно возьмем эту функцию и будем ей пользоваться и дальше. Так что-ли?

Полностью валидный.

Можно делать любые ходы, разрешённые правилами. Если ты выигрываешь, ты не обязан объяснять, почему ты ходил именно так, а не иначе - причём не обязан даже самому себе. Требование объяснить, зачем сделан тот или иной шаг в решении задачи - совсем не математическое.

Хорошая аналогия с шахматами.

Мне надо было обдумать весь этот тред.

По итогу весь этот тред взорвал мое понимание того что такое "правильно". Нас ведь всех (или не всех?) опять же еще со школы на математике "заставляли" комментировать каждое действие которое мы производим. В итоге оказывается что оно (требование) совсем не математическое?

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

P.S.: Тред-то вообще изначально посвящен тому что в одном конкретном виде доказательства большой пробел в рассуждениях. Каждый шаг объясняется а конкретно этот вообще никак. Вот.

[Anton_Peplov]

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Нас ведь всех (или не всех?) опять же еще со школы на математике "заставляли" комментировать каждое действие которое мы производим.

Это проблема школы, а не математики.

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

В итоге оказывается что оно (требование) совсем не математическое?

Разумеется.

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все-таки другое?

Есть разные вопросы:
1. Автор сделал в доказательстве такой-то шаг. Имел ли он право на этот шаг, нет ли тут логической ошибки?
2. Автор сделал в доказательстве такой-то шаг. Как он додумался до этого шага?

Чтобы доказательство было корректным, достаточно ответа на первый вопрос. Отвечать на второй в математике не очень принято, даже в учебниках (я тоже считаю, что изложение хода мысли часто было бы полезным).

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Тред-то вообще изначально посвящен тому что в одном конкретном виде доказательства большой пробел в рассуждениях. Каждый шаг объясняется а конкретно этот вообще никак. Вот.

Рассматривайте это как один из приемов доказательства Вам доводилось брать интегралы или решать уравнения заменой переменных?

Someone в сообщении #1103668 писал(а):

Ну, представьте себе некое уравнение. Смотрим мы на него, смотрим… Сложное! А вот если такую замену сделать, вроде бы, упрощается. Сделали, упростилось.
Опять смотрим на то, что получилось. Сложновато, всё-таки! Ещё смотрим… А вроде бы ещё вот такой заменой можно упростить. И правда упрощается!
И так далее.

А потом все эти замены можно упаковать в одну и удивлять публику своей изобретательностью.

Здесь похожая ситуация, только на уровень выше. Какую бы замену сделать, чтобы это уравнение упростилось. Какую бы функцию подобрать, чтобы доказательство получилось. Человек с большим опытом доказательств, наверное, может эту функцию просто угадать (с нескольких попыток, разумеется). Как угадать правильную замену переменных в уравнении.

Еще один похожий вопрос - построение контрпримера. Вейерштрасс построил функцию, которая всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема (чем немало удивил современников). Будем ли мы спрашивать у него: почему, герр Вейерштрасс, вы построили именно такую функцию? Наверное, он долго пытался, придумывал разные функции, пока не нащупал нужную. Главное - мы знаем, что такая функция есть, и значит, непрерывность не равна дифференцируемости.

Кстати, советую упражняться в построении контрпримеров, это полезный навык. Например, постройте функцию, которая непрерывна только в одной точке. А потом - чтобы она была еще и дифференцируема в этой точке.

[evdokimovm]

Anton_Peplov в сообщении #1659905 писал(а):

Например, постройте функцию, которая непрерывна только в одной точке. А потом - чтобы она была еще и дифференцируема в этой точке.

Интересно, буду подумать.

Anton_Peplov в сообщении #1659905 писал(а):

Какую бы функцию подобрать, чтобы доказательство получилось. Человек с большим опытом доказательств, наверное, может эту функцию просто угадать (с нескольких попыток, разумеется).

Это все, конечно, потрясающе. Правда. В том смысле что я действительно много времени потратил на то чтобы найти ответ на свой вопрос, а тут вдруг пришел на dxdy первый раз в жизни и мне объяснили что ... ну в общем, смириться надо. Понять и простить Пока что.

Кстати, пока искал, услышал в одной из лекций, в которой приводится доказательство теоремы Тейлора с остаточным членом, что настоящие математики, ну типа "действующие математики", сначала проводят какую то исследовательскую деятельность и уже только потом по результатам вытаскивают от туда какую-то теорему. Выписывают результаты, так сказать. А не наоборот, как это делается в учебной литературе вроде той что я привел, где сначала формулируется теорема а затем доказательство.

Это ведь верно, да?

Ну потому что, до того что остаточный член должен быть именно в такой форме (т.е. должен выглядеть, предположительно, как n+1'й член последовательности) тоже надо было как-то дойти. Я, конечно, понимаю что этот вопрос уже выходит за рамки треда который я создал.

P.S. 1: и вообще, я тут понял что по итогам всего этого, мне теперь больше нравится интегральная форма остатка Она и выводится гораздо "натуральнее", без "доставания кроликов и шляп". Правда там и требование строже, где n+1'я производная должна быть все таки непрерывна. Для формы Лагранжа это, кажется, не гарантируется

P.S. 2: хотя нет, обе нравятся

[Anton_Peplov]

evdokimovm в сообщении #1659910 писал(а):

Кстати, пока искал, услышал в одной из лекций, в которой приводится доказательство теоремы Тейлора с остаточным членом, что настоящие математики, ну типа "действующие математики", сначала проводят какую то исследовательскую деятельность и уже только потом по результатам вытаскивают от туда какую-то теорему. Выписывают результаты, так сказать. А не наоборот, как это делается в учебной литературе вроде той что я привел, где сначала формулируется теорема а затем доказательство.

Это ведь верно, да?

Я не математик ни по образованию, ни по профессии. Математики в этом треде есть, они Вам расскажут, если захотят.

Я могу поделиться только опытом постановки самому себе учебных задач. Когда изучаешь математику самостоятельно, часто приходят в голову вопросы, ответов на которые нет в учебниках - по крайней мере в твоих учебниках. Правда ли, что всякая метрика $\rho(x, y)$ непрерывна как функция двух переменных $x, y$? (Да). Существует ли непрерывная незамкнутая сюръекция с промежутка на промежуток? (Да). Можно ли представить интервал как счетное объединение попарно непересекающихся отрезков? (Нет). И так далее.

Я формулирую гипотезу в виде "доказать или опровергнуть, что..." Т.е. я еще не знаю, надо доказывать теорему или искать контрпример. Сначала трачу немного времени, чтобы найти контрпример. Если не получается, заглядываю в Гелбаум, Олмстед. Контрпримеры в анализе. Если там нет контрпримера, проглядываю теоремы, которые могут иметь отношение к делу, и начинаю доказывать.

Иногда (редко) доказательство удается сразу. Если в доказательстве не получается какой-то шаг вида "поскольку $A$, то $B$", ищу контрпример, когда вполне $A$, но никак не $B$. Он часто оказывается контрпримером и ко всей гипотезе. Если такой контрпример найти тоже не получается, внимательно смотрю на отвергнутые кандидаты в контрпримеры и пытаюсь понять, почему конкретно для них из $A$ следует $B$ и можно ли это обобщить. Иногда так в итоге и нащупывается доказательство. Такой вот маятник "доказать нельзя опровергнуть".

Когда у меня заканчиваются идеи или терпение, я иду на этот форум и спрашиваю старших товарищей.

[dgwuqtj]

evdokimovm в сообщении #1659910 писал(а):

настоящие математики, ну типа "действующие математики", сначала проводят какую то исследовательскую деятельность и уже только потом по результатам вытаскивают от туда какую-то теорему

У меня часто получается так: заранее известна какая-то гипотеза, например, "данная теорема допускает обобщение на такие-то случаи". Также заранее приблизительно известно, как эту гипотезу можно доказывать. После собственно доказательства утверждение из гипотезы может уточниться или даже ослабиться (например, если в исходном виде его слишком сложно доказывать, а какой-то результат получить хочется). Ещё так бывает, что изначально работа велась над каким-то одним результатом, а по ходу придумался другой (побочный). Но он всё равно изначально будет в виде гипотезы с всего лишь идеей доказательства.

В учебной и научной литературе принято формулировать утверждения перед доказательствами, потому что так просто удобнее воспринимать. По этой же причине в начале почти любого текста по математике есть аннотация и введение.

[talash]

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

Ну тут всё более менее очевидно, можно быстро в деталях разобраться. А вот мне интересно, Вы уже довольно таки далеко зашли в математике, всё другое, что было раньше, Вам понятно откуда взялось? Например, почему при умножении минус на минус даёт плюс, а не, например, минус. Что это? Некое объективное математическое правило или правило введённое из каких-то практических соображений? Не хочу чтобы тема ушла в обсуждение этого вопроса, поэтому, просто ответьте понимаете тут почему так?