2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8
 
 Re: Необходимость производной и понимание её полезности
Сообщение21.08.2024, 14:30 
Аватара пользователя


27/02/12
3894
Чудны дела твои, господи...
Простые (нуачо, без производных же! :D ) школьно-оптические методы (не к ночи будь помянуты)
отобьют, надеюсь, нежелание изучать производные. Меньше головной боли. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость производной и понимание её полезности
Сообщение21.08.2024, 14:39 


21/12/16
771

(Оффтоп)

воображаю как ТС угорает с этой ветки

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость производной и понимание её полезности
Сообщение15.10.2024, 17:42 


17/10/16
4811
Вот одна из интересных практических задач, где помогает производная.

Через пропасть шириной $l$ требуется перебросить канатный мост. Какую длину подвесного троса моста $s$ следует взять, чтобы максимальное натяжение в этом подвесном тросе (это в точках его крепления) было наименьшим?
Ясно, что слишком короткий трос сильно натягивается, т.к. сила натяжения становится близкой к горизонтальной. Слишком длинный трос так же сильно натягивается из-за большого веса. Где-то есть минимум натяжения.

Примем, что мост - это просто трос (цепь) с линейной плотностью $\gamma$. Уравнение цепной линии:
$$y=\frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}})$$
Известно, что параметр $a$ имеет смысл отношения горизонтальной компоненты силы растяжения цепи к погонному весу цепи, т.е.:
$$a=\frac{F_{hor}}{g\gamma}$$
Высота точек подвеса, на которой расстояние между ними будет равно $l$ есть:
$$y_l=\frac{a}{2}(e^{\frac{l}{2a}}+e^{\frac{-l}{2a}})$$
Известно, что длина цепной линии от нижней точки провиса до точки крепления есть:
$$s_{\frac{1}{2}}=\sqrt{y_l^2-a^2}$$
Тогда вес половины цепи (который равен вертикальной составляющей силы натяжения в точке подвеса) есть:
$$F_{vert}=\gamma g \sqrt{y_l^2-a^2}$$
Тогда сила натяжения цепи в точках подвеса есть:
$$F=\sqrt{F_{hor}^2+F_{vert}^2}=\gamma g y_l=\frac{\gamma g a}{2}(e^{\frac{l}{2a}}+e^{\frac{-l}{2a}})$$
Минимум силы натяжения имеем при условии $F^\prime_a=0$, т.е:
$$\frac{\gamma g}{2}(e^{\frac{l}{2a}}+e^{\frac{-l}{2a}}+\frac{l}{2a}(e^{\frac{-l}{2a}}-e^{\frac{l}{2a}}))=0$$
Если обозначить $z=\frac{l}{2a}$, то:
$$e^{z}+e^{-z}+z(e^{-z}-e^{z})=0$$
Высота подвеса будет равна:
$$y_l=\frac{l}{4z}(e^z+e^{-z})$$
И длина всей цепи будет равна:
$$s=2\sqrt{y_l^2-a^2}=\frac{l}{z}\sqrt{\frac{1}{4}(e^z+e^{-z})^2-1}$$
Численное решение уравнения для $z$ дает $z=1,996$

Тогда
$$s=1,2577l$$
Т.е. для минимального натяжения троса нужно взять его примерно на четверть длиннее, чем ширина пропасти.
Интересно, что угол натяжения такого троса (в точке подвеса относительно горизонта) будет очень близок к 1 радиану, но все же не равен ему (он равен 0,985 рад).

Вот как выглядит подвес с минимальным натяжением в точках подвеса, а так же зависимость этого натяжения от отношения $\frac{s}{l}$:
Изображение

Пожалуй, это слишком круто для подвесного моста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость производной и понимание её полезности
Сообщение15.10.2024, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
sergey zhukov в сообщении #1658669 писал(а):
Вот одна из интересных практических задач, где помогает производная
Но все рекорды полезности и интересности бьёт следующая задача: Вычислите производную функции...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 109 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group