Частицы в гравитационном поле

[wrest]

Утундрий
То же, что и пыль

[amon]

drzewo в сообщении #1658202 писал(а):

В качестве ответа предлагается записать уравнения из которых однозначно находится плотность. Решение этих уравнений тем более приветствуется:)

У меня так получается. Запишем уравнение Лиувилля. (Рассматривается случай $F=\operatorname{const},$ для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает. Все константы, кроме силы - единицы)

$$\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial t}+v\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial x}+F\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial v}=0.$$

Характеристиками этого уравнения будут траектории

$$dt=\frac{dx}{v}=\frac{dv}{F}.$$

Первые интегралы

$$C_1=v-Ft,\,C_2=x-vt+\frac{Ft^2}{2}.$$

Если в начальный момент времени было задано распределение по координатам и скоростям $\rho(v,x,0)=\varphi(v,x),$ то получится

$$\rho(v,x,t)=\varphi(v-Ft,x-vt+\frac{Ft^2}{2}).$$

Если частицы в начальный момент неподвижны, то $\varphi(v,x)=\varphi(x)\delta(v)$ и

$$\rho(v,x,t)=\delta(v-Ft)\varphi(x-vt+\frac{Ft^2}{2}).$$

Координатное распределение получается интегрированием по $v$

$$\rho(x,t)=\int dv\,\rho(v,x,t)=\varphi(x-\frac{Ft^2}{2})$$

[drzewo]

($F<0$) Да, уж. Такое мне в голову не приходило. Вот что делает с людьми статфизика:)

[Geen]

drzewo в сообщении #1658347 писал(а):

Такое мне в голову не приходило.

Но, собственно, это то, почему я спрашивал про свойства центра - очевидно, что если центр не поглощающий, то через достаточно большое время мы будем иметь полный спектр скоростей в любой точке (естественно, по модулю спектр ограничен).

[manul91]

amon в сообщении #1658335 писал(а):

Рассматривается случай $F=\operatorname{const},$ для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает.

$F$ должно иметь смысл ускорения (не силы), иначе размерности в последнем выражении не те. У меня тоже трансцедентное у-е для потенциала из оригинальной задачи; записать ответ в явном виде не получается. Интересно, если вместе этого искать плотность $\rho(t, x_0)$ для окрестности "падающей" вместе с "взвеси" с исходном положении $x_0$, получится ли выразить явно или нет.

[amon]

manul91 в сообщении #1658357 писал(а):

$F$ должно иметь смысл ускорения (не силы), иначе размерности в последнем выражении не те.

Я по старой привычке сразу стараюсь обезразмерить все, что можно. Там и $F$ можно положить равной единице. Я ее на рассаду оставил. А в безразмерных единицах ($m=1$) сила и ускорение имеют одинаковую размерность.

[drzewo]

amon в сообщении #1658335 писал(а):

для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает

зато можно поинтересоваться асимптотикой $\rho(t,x)$ при $t\to\infty$

[drzewo]

Так.

drzewo в сообщении #1658235 писал(а):

Находим функцию $z(t,y)$ из задачи Коши

$$\ddot z=-\frac{\gamma}{z^2},\quad z(0)=y,\quad \dot z(0)=0;$$

$$f(z/y)=\sqrt{2\gamma}\frac{t}{y^{3/2}},\quad f(\lambda):=\int_\lambda^1\frac{\sqrt\xi d\xi}{\sqrt{1-\xi}},\quad y\ge z>0,\quad \dot z<0,$$

$\lambda\in [0,1]$
Так при $t\to \infty$ при фиксированном $z$ должно быть $y\to\infty$ и

$$\frac{t}{y^{3/2}}\to c_1:=\frac{f(0)}{\sqrt{2\gamma}}.$$

[drzewo]

$$\rho(t,x)=\frac{\mathrm{const}}{t^{1/3}}(1+o(1)),\quad t\to\infty$$

при фиксированном $x$. Константа тоже вычисляется, но формула столь громоздка, что лень писать:)

[drzewo]

интересно посмотреть асимптотику при $x\to 0$

[wrest]

drzewo в сообщении #1658413 писал(а):

интересно посмотреть асимптотику при $x\to 0$

При квадратичном законе тяготения, при нуле расстояния будет бесконечная сила, бесконечная скорость и следовательно нулевая плотность.
При конечном радиусе - на нём будет вторая космическая скорость взвеси (в установившемся режиме, когда долетела взвесь из бесконечности). Насчёт плотности не знаю...