fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение11.10.2024, 21:03 


05/09/16
12155
Утундрий
То же, что и пыль :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5304
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1658202 писал(а):
В качестве ответа предлагается записать уравнения из которых однозначно находится плотность. Решение этих уравнений тем более приветствуется:)
У меня так получается. Запишем уравнение Лиувилля. (Рассматривается случай $F=\operatorname{const},$ для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает. Все константы, кроме силы - единицы)
$$\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial t}+v\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial x}+F\frac{\partial \rho(v,x,t)}{\partial v}=0.$$Характеристиками этого уравнения будут траектории
$$dt=\frac{dx}{v}=\frac{dv}{F}.$$
Первые интегралы
$$C_1=v-Ft,\,C_2=x-vt+\frac{Ft^2}{2}.$$Если в начальный момент времени было задано распределение по координатам и скоростям $\rho(v,x,0)=\varphi(v,x),$ то получится
$$\rho(v,x,t)=\varphi(v-Ft,x-vt+\frac{Ft^2}{2}).$$
Если частицы в начальный момент неподвижны, то $\varphi(v,x)=\varphi(x)\delta(v)$ и
$$\rho(v,x,t)=\delta(v-Ft)\varphi(x-vt+\frac{Ft^2}{2}).$$
Координатное распределение получается интегрированием по $v$
$$\rho(x,t)=\int dv\,\rho(v,x,t)=\varphi(x-\frac{Ft^2}{2})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 15:47 


21/12/16
963
($F<0$) Да, уж. Такое мне в голову не приходило. Вот что делает с людьми статфизика:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4687
drzewo в сообщении #1658347 писал(а):
Такое мне в голову не приходило.

Но, собственно, это то, почему я спрашивал про свойства центра - очевидно, что если центр не поглощающий, то через достаточно большое время мы будем иметь полный спектр скоростей в любой точке (естественно, по модулю спектр ограничен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 16:38 
Заслуженный участник


24/08/12
1099
amon в сообщении #1658335 писал(а):
Рассматривается случай $F=\operatorname{const},$ для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает.
$F$ должно иметь смысл ускорения (не силы), иначе размерности в последнем выражении не те. У меня тоже трансцедентное у-е для потенциала из оригинальной задачи; записать ответ в явном виде не получается. Интересно, если вместе этого искать плотность $\rho(t, x_0)$ для окрестности "падающей" вместе с "взвеси" с исходном положении $x_0$, получится ли выразить явно или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5304
ФТИ им. Иоффе СПб
manul91 в сообщении #1658357 писал(а):
$F$ должно иметь смысл ускорения (не силы), иначе размерности в последнем выражении не те.
Я по старой привычке сразу стараюсь обезразмерить все, что можно. Там и $F$ можно положить равной единице. Я ее на рассаду оставил. А в безразмерных единицах ($m=1$) сила и ускорение имеют одинаковую размерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 17:50 


21/12/16
963
amon в сообщении #1658335 писал(а):
для исходной задачи у меня трансцендентное уравнение вылезает

зато можно поинтересоваться асимптотикой $\rho(t,x)$ при $t\to\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение12.10.2024, 22:49 


21/12/16
963
Так.
drzewo в сообщении #1658235 писал(а):
Находим функцию $z(t,y)$ из задачи Коши
$$\ddot z=-\frac{\gamma}{z^2},\quad z(0)=y,\quad \dot z(0)=0;$$

$$f(z/y)=\sqrt{2\gamma}\frac{t}{y^{3/2}},\quad f(\lambda):=\int_\lambda^1\frac{\sqrt\xi d\xi}{\sqrt{1-\xi}},\quad y\ge z>0,\quad \dot z<0,$$
$\lambda\in [0,1]$
Так при $t\to \infty$ при фиксированном $z$ должно быть $y\to\infty$ и
$$\frac{t}{y^{3/2}}\to c_1:=\frac{f(0)}{\sqrt{2\gamma}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение13.10.2024, 11:45 


21/12/16
963
$$\rho(t,x)=\frac{\mathrm{const}}{t^{1/3}}(1+o(1)),\quad t\to\infty$$
при фиксированном $x$. Константа тоже вычисляется, но формула столь громоздка, что лень писать:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение13.10.2024, 13:02 


21/12/16
963
интересно посмотреть асимптотику при $x\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частицы в гравитационном поле
Сообщение13.10.2024, 13:55 


05/09/16
12155
drzewo в сообщении #1658413 писал(а):
интересно посмотреть асимптотику при $x\to 0$

При квадратичном законе тяготения, при нуле расстояния будет бесконечная сила, бесконечная скорость и следовательно нулевая плотность.
При конечном радиусе - на нём будет вторая космическая скорость взвеси (в установившемся режиме, когда долетела взвесь из бесконечности). Насчёт плотности не знаю...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group