2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 16:13 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Условие:
Считая $|x|$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:

а) $$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}, (R>0)$$

Как решать совершенно понятно:
$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2} = \frac{1}{R^2} (1 - \frac{1}{(1+x/R)^2})$

Далее в ряд Тейлора до первого порядка по $x/R$ и получаем $\frac{2x}{R^3}$

UPD: поправил опечатку в ответе

Вопрос по условию.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной и раскладывать в ряд Тейлора по ней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 16:17 


21/12/16
721
Да, достаточно. $R>0$ -- константа, $x$ -- переменная. Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
drzewo в сообщении #1655572 писал(а):
Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.


Спасибо за ответ. Ряд-то сойдется для любых $|x|<|R|$
Я переформулирую вопрос.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной, чтобы получившуюся простую приближенную формулу $\frac{2x}{R^3}$ считать приближенной формулой? Она же может дать расхождение в разы и на порядки (при этих условиях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:05 


21/12/16
721
Может дать расхождения в разы. Под приближенной формулой понимается
$$\ldots=\frac{2x}{R^3}+o(x),\quad x\to 0$$
как обычно

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
С указанием остатка (в любой форме) - это точная формула (лишь бы бы ряд сошелся).
А с откинутым остатком, как раз - приближенная. Нет?
(Демидович также считает: в ответах приводит простые приближенные формулы как первый ненулевой член ряда Тейлора, без остатка).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:16 


21/12/16
721
я думаю, что приближенная формула это по определению точная в которой остаток не написали , а вместо равенства написали $\simeq$

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
По некоторому размышлению я разрешил этот когнитивный диссонанс другим способом.
Видимо, фразу "считая $|x|$ малой величиной" нужно понимать так, что $|x|$ мало по сравнению с константами задачи. Тогда $|x| \ll R$, и всё становится хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 21:06 


22/10/20
1185
EUgeneUS, а где тут используется условие $R>0$? Вопрос наверное глупый, я матан не особо знаю, но не вижу как-то.

Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Ваша функция $$y = \frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}$$

Ее производная: $$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(R + x)^3}$$

Нам нужны близкие к нулю иксы, поэтому найдем значение производной в нуле: $\frac{2}{R^3}$.

$y(0) = 0$, поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид: $$z = \frac{2}{R^3} x$$.

Это и есть искомое приближение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 22:28 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид


Видите ли в чем дело. Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
а где тут используется условие $R>0$?


Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$) :roll: :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 23:30 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):
Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.
Ну как сказать... Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же). Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой. Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением. И получится, что для просто малых $x$ (точнее говоря, для просто малых смещений аргумента, но т.к. у нас тут все в окрестности нуля происходит, то можно говорить о "просто малых $x$") значение приближенной формулы от этого $x$ мало отличается от точного значения первоначальной функции от этого $x$. Последнее "мало" - это мало по сравнению с приращением (т.е. в данном случае - мало по сравнению с $x$; в стандартном матнализе это обозначается как $o(x)$)

EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):
Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$)
Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно. Малый $x$ будет мал по сравнению с любым ненулевым конечным числом, а значит как по сравнению с $R$, так и по сравнению с $|R|$. И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:07 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же).


Не одно и то же. Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.

-- 23.09.2024, 00:11 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой.


Спросить можно. Но зачем? Ответ-то очевиден.

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

Чего? :shock: Пределы тут при чем?

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.

-- 23.09.2024, 00:20 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно.


У меня нет точного ответа на этот вопрос. С одной стороны, нужно как-то обозначить, что $R \ne 0$, с другой стороны, почему бы так сразу не написать?
Может там опечатка и должно быть $R > 1$, тогда всё на свои места становится.

-- 23.09.2024, 00:21 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.


Не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:24 


05/09/16
12038
В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение" :mrgreen:
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Так это он и есть (два первых члена).
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
$y(0) = 0$, поэтому

... поэтому имеем ряд Маклорена :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей.


А это так. Для безразмерных величин. Но у математиков нет размерности, поэтому у них всегда так.

-- 23.09.2024, 00:28 --

wrest в сообщении #1655638 писал(а):
В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение" :mrgreen:


Дифференциалы тут только витают, к задаче отношения не имеют. Именно по этой причине:
EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.


-- 23.09.2024, 00:42 --

Задача-то "жизненная".
Это поле на оси диполя на расстоянии $R$ от первого заряда, диполь с расстоянием между зарядами $x$
Вот и возникает вопрос, на каких расстояниях "простая приближенная формула" даёт адекватное приближение, а на каких - погоду на Марсе.
Ответ, опять же очевидный: при $|x| \ll |R|$. Но как это условие следует из условий задачи?
Теперь склоняюсь, что в условии опечатка (см. выше).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 01:02 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.
Я думаю, что в таких задачах под "малыми" понимают такие приращения аргумента, значения функции при которых можно считать неотличимыми от дифференциала. Далее возникает вопрос: что значит "можно считать неотличимыми"? Я вижу тут развилку: либо "можно считать неотличимыми для целей практики" (тогда "малый" $\ne$ "бесконечно малый"), либо математически идеализированно неотличимый от дифференциала, т.е. дифференциал и есть, т.е. бесконечно малое. Все отличие - в семантике. Ответ будет один и тот же.

EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.
Хм... Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 01:06 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655643 писал(а):
Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.


Видите ли в чем дело. Эта тема в ПРР(М), а я ТС. Это как бы означает, что я спрашиваю, а мне объясняют.
А с Вами тут наоборот.
Если у Вас какие-то вопросы или несогласия (по заданию), заведите свою тему, я Вам там объясню.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group